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 faisant à une équation linéaire du second ordre, et, pour le montrer par un 

 exemple, je considérerai ceux qui ont été étudiés par M. Hermile dans sa 

 ^ oie Sur un nouveau développemenl en série des fonctions [Comptes rendus, 

 î3 février i864)- 



» Soient a et |3 deux racines consécutives de l'équation U„= o; elles 

 comprennent une racine X de l'équation U„+., = o, et le polynôme U„^, 

 satisfait à l'équation 



» De la proposition que j'ai énoncée plus haut on déduit aisément, si 

 l'on remarque que U„ est égal à un facteur près à Ll'„+,, 



On a d'ailleurs, en vertu de l'équation (i), 



il en résulte 



et par suite 



«+'<>. et p-4.>X, 





» On peut ainsi, sans former l'équation aux carrés des différences et en 

 s'appuyant seulement sur l'équalion différentielle à laquelle satisfait U,,^.,, 

 trouver une limite supérieure de la différence entre deux racines consécu- 

 tives de l'équation U„ = o. 



» 3. Comme deuxième application, je considérerai l'équation 



J{x) = i -cosa - fr{i -3?)+ \^ ^-j-^{i-x)-— ..., 



dont la plus grande racine est cos -• Cette quantité étant voisine de l'unité, 

 je partirai de la valeur initiale -+- i; on trouve aisément 



d'où la valeur approchée suivante : 

 (2) cos^=i 



n'{n'— i) 



„ + („_,)^„,_,Mf_t_0 



n 



" ' " "^ ' ' ( I — cos a ) 



