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 Mais cette valeur peut être mise sous une autre forme; on a d'abord 



puis, au moyeu des formules connues et en changeant convenablement les 

 constantes, 



j=^Ce' -^ ""■'■+ Ce ' '*"''■' 

 ou bien encore 



y-. 1 . /' — fin-'' ru • I . /' — dnx 



J=.CC0Sp.l0gy/^-^-^+CsUl,.l0gy'^^;p^. ,, 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les diviseius des fonctions cyclolomiques ; 



par M. Sylvester. 



« Tout ce que j'ai pu trouver sur la question qui a fait le sujet de ma 

 première Communication ( ' ) est contenu dans le livre classique du pro- 

 fesseur Bachmann, Die Lelire von der Kreislheilung (^), Leipzig, 1872, 



(') Comptes rendus, séance du i6 février. 



(') Kieistheilung z= cyclotomie. La fonction à racines réelles qui sert à la division du 

 cercle en parties égales est celle que j'ai nommée fonction cyclotomique. 11 y a aussi des 

 fonctions cycldtomiques à racines imaginaires; je parle des facteurs primitifs de x*— i, 

 qu'on pourrait nommer fonctions cyclolomiques simples ou iriéduites, dont les diviseurs 

 sont assujettis à des conditions parallèles, mais non identiques avec celles des fonctions 

 cyclotomiques que j'ai traitées dans le texte. En effet, voici la règle pour les diviseurs des 

 fonctions cyclotomiques non réduites. Afin qu'un nombre quelconque soit diviseur d'une 

 onction cyclotomique non réduite à l'indice k, il faut et il suffit que chaque facteur premier 

 de ce diviseur soit de la forme /•/ + i , avec exception d'un seul facteur premier p qui peut 

 figurer aussi comme facteur du diviseur dans le cas, et seulement dans le cas que / admet 



de la représentation (nécessairement et sans exception unique) pi. Ainsi, si P, p dési- 

 gnent des nombres premiers, J, j des nombres indéfinis, et k l'indice d'une fonction cyclo- 

 tomique de l'une ou de l'autre espèce, et si 



P = mk 4- s et A = '- pi, 



m 



P' et p seront diviseurs de la fonction dans un cas et dans l'autre, avec la distinction que 

 pour les fonctions cyclotomiques simples = = i, tandis que pour les fonctions cyclotomiques 

 à racines réelles ; =±i. En effet, le cours de la démonstration est précisément le même 

 dans les deux cas, avec la seule exception que pour la première proposition, celle qui affirme 

 que,/j étant un nombre premier de la forme mk -\- z, jJ est diviseur de la fonction à indice 

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