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 p. 24a, 243; mais cela même ne me servait à rien, car cet excellent 

 auteur s'est borné au cas où l'indice est un nombre premier, pour 

 lequel cas il énonce et déinonlre « qu'en dehors des diviseurs premiers 

 » de la forme 2mp ±i » la fonction cyclotomique à l'indice p « contient 

 » seulement le diviseur premier p » ; mais M. Bachmann n'a nullement 

 démontré ni même affirmé, ce qui cependant est vrai, que tout nombre 

 premier de la forme ampii, et même un tel nombre élevé à une 

 puissance quelconque (*), est diviseur de la fonction cyclotomique à 

 l'indice p. 



» Reste une remarque à faire. Si l'on prend le produit des facteurs 



X — 2 cosX— jT, on obtient ce qu'on peut nommer uneybrme cyclotomique. 



Quand on prend l'indice égal à 5 ou à lo, à 8 ou à 12, de sorte que l'ordre 

 de cette forme, disons F(a7,j), devient 2, si D est un diviseur quelconque 

 de la fonction cyclotomique à ces indices, on sait, par la théorie ordinaire 



k, pour les fonctions cyclotomiques d'une classe on se sert du théorème que la congruence 

 cospiâ— cos/?3-^ o[mod./>'] a toutes ses racines réelles ; pour les fonctions cyclotomiques 

 de l'autre classe on se sert du théorème (mieux connu) que la congruence 



xf ' — .iP' "^ ' ^ o [mod. pJ] 



a toutes ses racines réel/es. Pour tout ce qui suit cette proposition, la méthode de démons- 

 tration pour les deux cas est absolument identique. Peut-être serait-il mieux de nommer 

 les fonctions dont je parle spécialement dans le texte fonctions cyclotomiques rie la seconde, 

 et celles qui sont simplement facteurs primitifs de la forme binôme /onctions cyclotomiques 

 de la première espèce. Il y a une raison qui me paraît assez grave pour ce changement de 

 nomenclature, vu qu'il suggère l'idée d'une théorie de diviseurs des fonctions cycloto- 

 miques dont le rang de l'espèce sera un nombre q quelconque, où figureront les racines 

 çièmes jg l'unité, par rapport à l'indice comme module, de laquelle théorie je crois entrevoir 

 assez distinctement et la haute probabilité de son existence et sa nature. J'espère déve- 

 lopper cette théorie dans quelque futur Mémoire. 



( ' ) Il est à peine nécessaire d'observer que la fonction cyclotomique de l'ordre w 

 [où w = J (f (X )] étant divisible pour w valeurs a de la variable incongrues par rapport à /j", 

 et us autres valeurs b de la même variable incongrues par rapport à q^, par p"^, q^ respecti- 

 vement, on n'a qu'à combiner un a quelconque avec un b quelconque, et, en écrivant 

 p'^ii — a = f = q'fv — b, on obtiendra une valeur réelle de t (et conséquemment w valeurs 

 réelles de t), qui substituée pour la variable rendra la fonction divisible par p'^q^; et de 

 même on déduit que la fonction admettra comme diviseur un nombre quelconque dont les 

 facteurs sont les nombres premiers de la forme /«/■ rt i accompagnés ou non (au choix) par 

 le fadeur intrinsèque, quand il y en a un, et par l'un ou l'autre ou tous les deux facteurs 

 intrinsèques n, 3, dans le cas où l'indice est le nombre 12. 



