( 352 ) 



MEMOIRES PRESENTES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. -- Généralisation de deux théorèmes sur les 

 fonctions Q. Note de M. Eixiot. (Extrait par l'aïUeur.) 



(Commissaires: MM. Bertrand, Hermile, Bouquet.) 



« MM. Clebsch et Gordan ont été amenés, dans leur Ouvrage Sur les fonc- 

 tions abéliennes, à tirer de développements en série une fonction qu'ils dé- 

 signent par 0f'', et qui est une somme de termes composés chacun du 

 produit d'ime fonction ordinaire par une exponentielle dont l'exposant 

 contient des intégrales de troisième espèce. Je me suis proposé, dans le 

 Mémoire dont je donne ici un aperçu, d'étendre à cette fonction les deux 

 théorèmes qui servent de base au problème de l'inversion d'après la mé- 

 thode de Riemann. M. Briot, dans sa Théorie des jonctions abéliennes, en a 

 donné la démonstration, quelle que soit la nature des points critiques et 

 leur disposition dans le plan. J'en rappelle l'énoncé. 



» Si dans une fonction 0(f«i, lu, . . . , Up) de p variables on remplace les 

 variables ?/,- par u'-'\œ,r) — G,, «"'(.r, y) désignant les ^intégrales normales 

 de première espèce : 



» \° La fonction 0(«''' — G,) admet p zéros (.r,,j,), [x^^y^), ..., 



» 2" Ces zéros satisfont aux équations suivantes : 



^««(^,j)-G,^C,, 



les quantités C,- désignant des constantes indépendantes des G, et le signe ^ 

 signifiant qu'on doit ajouter aux seconds membres des multiples quel- 

 conques des périodes. 



» La fonction 0'^' que je considère diffère de celle de MM. Clebsch et 

 Gordan par le choix des constantes qui accompagnent dans chaque terme 

 les intégrales de troisième espèce. Pour définir ces constantes, je m'appuie 

 sur les propriétés suivantes. Soit p'''' une intégrale normale de troisième 

 espèce dont les infinis sont (^'*', §'/'), (/)'''', '/î'/''). Les périodes d'indice impair 

 de t^''"' sont nulles, et les p périodes d'indice pair sont 



l'intégrale ^^''*(^'*', ^'*'), par exemple, est supposée prise le long d'un chemin 



