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 formé des lacets fondamentaux de deuxième espèce ( ' ) conduisant de la ra- 

 cine initiale ; „ à la racine/g^ avec laquelle commence le circuit unique qui 

 contient le lacet (|'*', 1'/') chemin suivi des lacets relatifs aux points cri- 

 tiques algébriques qui entrent dans ce circuit jusqu'à la droite Oç'*' décrite 

 tuie seule fois de O vers |'*'. 



» Soit f '''' une autre intégrale normale de troisième espèce dont les 

 infinis sont (^'**, ?(/"), (-/îC", -cf). Posons 



l'intégrale t^''' étant prise le long d'un chemin analogue aux précédents et 

 qui ne contient aucun lacet logarithmique. On démontre que L/,,/, = L^i/,. 

 » Soient maintenant c'", v^-\ ..., p'" q intégrales abéliennes normales 

 de troisième espèce, s,, £,, •■•, '-,, des quantités égales à ± i , G, , G^, ..., Gp, 

 g,, gi, ■■ ■, gq des constantes et H,, ïL, . ..,llg des quantités définies par 



4 H, = £, r.,,, + . . . -F- î,_, L,,,_, + ii^t L,,,+, + . . . -H £y L,_y (^=1,2, ...,7), 



la fonction 0'^' de la seule variable x que nous avons en vue sera 



£,,£0, ...,i,, = ±\. 



Il v a autant de termes dins la fonction que de groupes distincts formés 

 par les £, c'est-à-dire 2^. Chacun d'eux est défini parle système des valeurs 

 attribuées aux £, et à chaque terme répond un système déterminé de va- 

 leurs pour les constantes H. L'extension dont il s'agit consiste dans les 

 deux théorèmes suivants : 



» 1° Lo fonction 0'^'(;i'''— G,, i''^* — g^.) admet p -h (/ zéros {-r,,)',), 



« 1° Ces p -^ 1 zéros satisfont aux équations 



y "''' i^A,y/,) - G,- — G,- (/ = 1 , 2, . . . , p), 



ll = l 

 l'=p->-'l 

 ^ v^''\-rh,Jh) - gk ^c^ (A = r , 2, . . . , y), 



G,- et Ck étant des constantes indépendantes da G,- et gf,. 



(') Voir l'Ouvrage de M. Briot. 



C. R., 1880, I" Semestre. (T. XC, N" S.) kl 



