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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques applications des fondions 

 elliptiques. Note de M. Hermite. 



« XXIV. Les fonctions doublement périodiques de seconde espèce avec 

 un pôle simple, qu'on pourrait nommer unipolaires, donnent, comme nous 

 l'avons vu, la solution découverte par Jacobi du problème delà rotation 

 d'un corps autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a point de forces accélé- 

 ratrices. Ces mêmes quantités s'offrent encore dans une autre question 

 mécanique importante, la recherche de la figure d'équilibre d'un ressort 

 soumis à des forces quelconques, que je vais traiter succinctement. On sait 

 que Binet a réussi le premier à ramener aux quadratures l'expression des 

 coordonnées de l'élastique, dans le cas le plus général où la courbe est à 

 double courbure {Comptes rendus, t. XVIII, p. iii5, et t. XIX, p. i). Son 

 analyse et ses résultats ont été immédiatement beaucoup simplifiés par 

 Wantzel ('), et j'adopterai la marche de l'éminent géomètre en me propo- 

 sant de conduire la question à son terme et d'obtenir explicitement les 

 coordonnées de la courbe en fonction de l'arc. Mais d'abord je crois devoir 

 considérer le cas particulier où l'élastique est supposée plane et où l'on a, 

 en désignant l'arc par s [Mécanique de Poisson, t. I, p. SgS), 



, 2 c' d.r , {i(Lx — x'^\ dx 



as = ; dy = 



, ax — x^ j 



^4c' — [T.ax — x''Y y/4<^' — [lax — x'']' 



Soit alors 



X 



on obtient facilement 



ds=. 



de sorte qu'on peut prendre X = sn y ° j» s^ étant une constante arbi- 

 traire. Mais il est préférable de faire X =: sn | "- + K | ; nous parvien- 



(') Wantzel, enlevé à la Science par une mort prématurée à l'âge de trente-sept ans, 

 en 1849, a laissé d'excellents travaux, parmi lesquels un Mémoire extrêmement remar- 

 quable sur les nombres incommensurables, publié dans le Journal de l'École Poly- 

 technique (t. XV, p. i5i), et une Note sur l'intégration des équations de la courbe élastique 

 à double courbure [Comptes rendus, t. XVIII, p. 1197)- 



