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 et l'on trouve ensuite facilement 



ces résultats olDtenus, les expressions des coordonnées en fonction de l'arc 

 s'en déduisent comme il suit. 



» Soient rt, b, c les racines de l'équation 



2|3(Ç_r5)(,_Ç==)_(.yÇ + .^)^=0, 



de sorte qu'on ait 



r=-2/3(ç-fl)(ç-*)(ç-c). 



Désignons aussi par Ço une des valeurs de Ç, qu'on doit, d'après la condi- 

 tion x'--Hj> '- + Ç" = i, supposer comprise entre +i et — i. Le facteur |3 

 étant positif, comme nous l'avons dit, le polynôme 2fi{i^—a){<^—h)[l^ — c) 

 sera négatif en faisant Ç = Ço' Mais il prend pour Ç = + i et Ç = — i les 

 valeurs positives (7 + a)- et (y — a)*; par conséquent, les racines a, b, c 

 sont réelles, et, si on les suppose rangées par ordre décroissant de grandeur, 

 a sera compris entre + i et Ço> ^ entre Ço et — i, et c entre — i et — 00 . 

 Remarquons aussi que, ayant pour 2 = Ç un résultat positif, il est nécessaire 

 que cette constante 5 soit supérieure à <^ ou comprise entre b et c. Mais la 

 relation x'-i- /-= 2{^ — 5) montre que la seconde hypothèse est seule 

 possible, car dans la première x'-hj'' serait négatif. Cela posé, puisque Ç 

 a pour limites a et b, nous ferons 



soit encore 



a — c a — c 



on aura 



{Z-a){^-b){-Ç~-c)=-{a~bY{a-c)\J'{x-l]'){i-k^-V'), 

 et de l'équation 



r=-2/3(ç-«)(ç-é)(ç-è) 



nous conclurons 



U'2^ {lZlflP(i_u^)(i_A-»U=). 



» Faisons donc n = \/ —'i puis, en désignant par ^o '"le constante 



u — ?i{s — J,), on aura 



U = snw, Ç = fl — (rt— 6) sn'ii, 



