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 de temps dt qui succède à l'époque /„, le sont encore à la fin; donc 

 udx-^vdy-JrW'dz est restée différentielle exacte pour la position corres- 

 pondante du fluide. Partant de cette seconde position, on verrait de la 

 même manière que a, /3, y restent encore nuls dans la nouvelle position 

 prise par le fluide après un second intervalle de temps dt; de cette troi- 

 sième position il serait possible de passer de même à une quatrième, et 

 ainsi de suite. On constaterait de proche en proche que a, /3, y restent nuls 

 et udx -{- V dy -\- w dz intégrable dans la position prise par le fluide après 

 un temps quelconque. Rien n'empêche d'ailleurs d'attribuer à dt une série 

 de valeurs négatives, afin de revenir aux époques antérieures à f„ ; l'énoncé 

 du théorème s'applique avant comme après cette époque particulière. 



» II. Sans essayer de rechercher si la démonstration précédente pour- 

 rait se trouver en défaut dans certains cas exceptionnels (ce qui, au surplus, 

 ne semble pas facile à faire d'une manière suffisamment nette et précise), 

 admettons l'existence d'une fonction (f[x^ j, z, t) telle qu'on ait con- 

 stamment 



do dt) do 



dx dy dz 



Les quantités «, j3, y restant toujours nulles pour tous les points du fluide, 

 les équations (2) peuvent se mettre sous la forme 



dx \dt j dx \ 2 



M) 1I(S) = |(t-'+=«-îV' 



d'où l'on conclut immédiatement 



(5) ^J=.T-. + a5-lV'+C, 



C représentant une fonction de la seule variable t. On pourrait remplacer 

 dans ré,ua.io„ (5) « par g + g + S e. V^ par (È)V(|)'+ (5)'= 



d'un autre côté, supposer que -{-^dx-\--^dy+ -j-dA est une différen- 

 tielle exacte relativement à x, y^ z revient à supposer que p e\. zs sont à 

 chaque instant des fonctions de p\ par suite, l'équation (5) peut être con- 

 sidérée comme une première relation entre les inconnues © et p. 



