(521 ) 



» Le maximum de précision s'obtient en prenant m = n. C'est le cas 

 de la formule de Gauss, qui atteint le degré de précision in — i. 



» Parmi les cas particuliers que l'on peut encore considérer, celui où 

 tous les coefficients ont la même valeur numérique n'est pas le moins im- 

 portant ; il a été déjà étudié par M. Tchebychef, mais il ne sera pas sans 

 intérêt d'aborder la question par une autre voie. 



» En faisant A = B = C = . . . dans la formule fo[x)dx = Ih. (p{a), on 

 voit tout de suite qu'on obtiendra le degré de précision 21 -h i avec 2j ou 

 2 / + 1 ordonnées symétriques ; on a ensuite ( pour « = 2 j ou 2 i + i ) 



5 



A = -, la-=^, la'=-, ■•., 2a"= 



« b 10 7.1 -i- 1 



les sommes ne comprenant plus que / termes, et les coefficients de l'équa- 

 tion F (a) = o, qui fournit les abscisses ±a, dzb, . . ., s'expriment facile- 

 ment par les sommes des puissances des racines. Un calcul très simple 

 donne 



n " 



) X""- ;. ^-^)^ 



72 30/ \'29'5 120 42/ 



Pour n = i et 7i = 2, on retombe sur la méthode de Gauss. Poiu'n = 8, 

 on a deux racines réelles (± 0,901/194) et six racines imaginaires. 



» Lorsqu'il s'agit de l'intégrale f(p[x)xdx, il faut prendre un nombre 

 pair d'ordonnées (« = 2/) et poser 



/ o[x)xdx = M[f[a) — tp{~a)] (degré de pr. « 4- 2). 

 >- -1 



» En désignant par s, s^, s^, ... les sommes des puissances impaires des 

 i racines a, b, . . ., les équations de condition sont ici 



L — 'is = 5s3 = ']Si = ... = {n + 3)s„+,. 



Pour les résoudre, considérons l'équation x' — p,x^~* + p2x'~^±. , .=^ o. 



En faisant A„,= —(a'"— j,„), la théorie des fonctions symétriques fournit 

 les relations 



s=p,, A3 = p,p2—Pi, A, = (p'î — p.,)^3-^p,pt-pi, 



^T={p1-P2)^,-hiP^P,-p,)à3 + p,p^-p,, 



-{Al-hA,= {p\-p,)A, + {p,p,-p,)à,+ {p,p,-p,)A,-^p,p,-p,, 



