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» Je me propose dans cette Note de m'occuper précisément de ces inté- 

 grales rationnelles de degré supérieur, intégrales qui exisleiit d'ailleurs 

 toujours toutes les fois que les fonctions les plus générales satisfaisant au 

 système (i) sont algébriques, et de faire connaître à leur égard une propo- 

 sition dont les applications sont étendues. 



» Soit 



une telle intégrale. Elle doit satisfaire identiquement à l'équation aux 

 dérivées partielles 



~ + ^^{a,,x, + ...)+... + ^^^{a„,x, + ...) =^ o, 



et la forme de celte équation prouve que, sif{a-,, . .., a-„) n'est pas homo- 

 gène par rapport à .r,, . . ., a„, chacune des fonctions homogènes dans les- 

 quelles elle peut être décomposée, égalée séparément à une constante, 

 donne une intégrale du système (i). Nous pouvons donc, dans ce qui va 

 suivre, considérer seulement les intégrales homogènes, et voici la propo- 

 sition à laquelle elles donnent lieu : 



» Si la fonction homogène /{ce,, , , ., ^„) est une intégrale du système (i), 

 tout covariant de celle jorme multiplié par une puissance convenable d'une 

 fonction connue de t sera également une intégrale du même système. 



» Soient, en effet, 



•r' r^ 



n systèmes de solutions particulières du système (i). Les solutions les plus 

 générales de ce système seront fournies par les formules 



(2) - 



' ^„ = C| 5"^' -i- . . . + C^oT", 



et si l'on substitue ces valeurs de j:-,, . . ., x,, dans la fonction/, il faudra, 



puisqu'elle est une intégrale, qu'elle se réduise à une constante, c'est-à-dire 



à une certaine fonction 



9(C,,c;, ...,C„) 

 indépendante de t. 



» Or les formules (a) peuvent être considérées comme définissant une 



substitution linéaire qui remplace dans/ les variables a-, par les variables Q. 



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