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 '> Tf. Si les deux nombres entiers J, g salisfotU à la congruence 



y^_„g===, (moà.p), 



oit l'on désigne par n un non-résidu quadratique du nombre premier p, le nombre 

 complexe t =y + q y « vérifie la congruence 



f^^ — iHïno (mod.p). 



« Soit p un nombre premier 3/ di i, et supposons que la congruence 



(i) j:^— 3x + i^o (mod, /y) 



admette une solution rationnelle x. Si nous posons 



(2) <^l±iflz:i, ,-^■'•-^^■'■'-4, 



les deux nombres ^, t' vérifient les deux formules 



(3) t + t' = X, t{ =z I. 



En remplaçant x par t + - dans la fonction considérée, on a 



(4) j:'' — 3x + I = ^' + - --t- I = — ^ 



^ ' t^ l-yC' ~ Ij 



)i Supposons d'abord x donné, et cherchons quelle doit être la forme 

 d'un diviseur p de la fonction x^ 4- 3.r -4- i . Il faut distinguer deux cas, 

 suivant que x- — 4 est résidu quadratique de /? ou non. Dans le premier 

 cas, on résout la congruence x" — k^J' (mod.p), et l'on a (théorème 

 de Fermât) 



t^—^^ tP '^(-^-) -I (mod./j). 



» D'ailleurs, puisque x est une solution de la congruence (i), on dé- 

 duit de la formule (4) que t est une racine primitive de la congruence 

 i° — i^so (mod. p). Le nombre / est donc une racine commune des deux 

 congruences f^^ — is^o, i^ — 1^0 (mod.p), et conséquemment (I) il 

 doit vérifier la congruence ^"' — 1^0 (mod. p), dont l'exposant co est le 

 plus grand diviseur commun des deux nombres /) — i et 9. Comme t est 

 racine positive de la congruence <' — i5??^o (mod. p), il ne peut vérifier 

 aucune congruence binôme dont l'exposant serait inférieur à 9; on a donc 

 Où = 9, et par conséquent p =-- 18Z+ i. 



» Soit X- — 4 lin non-résidu quadratique de p; je dis que le diviseur p 



