( SgS) 

 riables «,. Je dis que toute forme invariante de ce sjstème d'intégrales, mul- 

 tipliée par une fonction connue de t, sera encore une intégrale du système (3). 



» Soient en effet 



/ a;, ==C,a-î+ ... -4-C„a?1, 



(4) ] 



les valeurs les plus générales satisfaisant au système (i). alors les intégrales 

 du système (a) seront 



I iZ'j M| + . . . + J"„ lin =^ V'i ) 



(5) ' 



( X\U^+ ... +Xlu„—-ln. 



Ce double système de formules conduit à l'identité 



«•,«,+...+ x„u„ = C, 7, + . . . + C„7„. 



» Cela posé, si dans les formes/, on remplace >r, , . . . , //,,... par leurs 

 valeurs tirées des formules (4) et (5), elles doivent se transformer dans des 



fonctions 



9,-(C|, . .., C,„ I 7,, ..., 7„), 

 indépendantes de t. 



» Or les formules (4) et (5) peuvent être considérées comme définissant 

 une substitution linéaire substituant les variables C,-,7, aux variables a-,-, m,- 

 respectivement. Il suit de là que toute forme invariante du système des 

 intégrales f se réduira, quand on la multipliera par une puissance conve- 

 nable du déterminant delà substitution (4), à la forme analogue formée avec 

 les fonctions «p,-, c'est-à-dire à une fonction des constantes C,, y*. Or une 

 telle fonction est encore une intégrale. « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la réduction des substitutions linéaires. 



Note de M. C. Jordan. 



« Deux substitutions linéaires S et S', à n variables et à coefficients 

 réels ou complexes de la forme a + bi, peuvent être considérées comme 

 équivalentes et appartenant à la même classe si l'on a une relation de la 



forme 



S'=ESE', 



E et E' étant des substitutions à coefficients entiers (réels ou complexes) 

 et de déterminant i. 



