( 399 ) 

 » Celte définition posée, on peut établir le théorème suivant : 

 » Théorème. — Une substitution S de déterminant D est toujours équiva- 

 lente à une substitution réduite dont tous tes coefficients ont leurs normes infé- 

 rieures à A„'v A, A désignant la norme de D, et k„ une constante qui ne dépend 

 que de n. 



» Soit 



S = 



la substitution donnée. 



» Deux cas seront à distinguer suivant que les coefficients a, b, ..., c" 

 sont ou non commensurabies entre eux. 



» 1° Dans le premier cas, on voit immédiatement que la démonstration 

 se ramène au cas où les coefficients a, b, . . . , c" sont entiers. 



» On voit ensuite qu'en multipliants, soit en avant, soit en arrière, par 

 une série de substitutions analogues à la suivante, 



(') 



(X entier), 



on peut en déduire une substitution équivalente, de la forme 



(2 



p o o 

 o pq o 

 O O pqr 



{p, q, r entiers), 



Ip 



p o 



o /j(y o 



puis une autre, de la forme 



(3) 



p o pqr-hXp 

 dans laquelle on pourra choisir l'entier X de telle sorte que le module du 



n — 1 



mineur A = pq{pqr -i-lp) ne diffère de A " que d'une quantité au plus 

 égale à -j modp''q. Mais on a, d'autre part, p-pqpq'~= D, d'où l'on déduit 



n — 1 



mod. p^q'^à. '" , 



