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 pas connu des conditions nouvelles que l'observation vient de nous ré- 

 véler jusque dans ces derniers temps : j'ai cru que le moment était venu 

 d'essayer de faire entrer tout cela en ligne de compte. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques applications des fonctions 

 elliptiques. Note de M. Hermite. 



« Considérons, pour obtenir la valeur de x-\-i/, l'expression 



— ^TrzrjY~^ ^"^ ^" représente la dérivée logarithmique. C'est une fonction 



doublement périodique de la variable m, ayant pour pôles, d'une part 

 « = iK' et de l'autre les racines de l'équation Ç — c? = o. Mais des deux 

 solutions u =±(^ qu'on en tire, une seule est en effet un pôle, comme le 

 montre la relation Ç'^ + (7? + a)- = 2,3(Ç - a)(i-Ç»), d'où l'on déduit 



en faisant Ç = §. Il en résulte que, si nous prenons pour m = co la valeur 

 Ç'= -I- /(Y^ H- «), on aura Ç' = — 1(70 + a) pour u= — a, la dérivée 

 changeant de signe avec la variable. En même temps on voit que le résidu 

 de la fonction qui correspond au pôle u = ut est 4- «; le résidu relatif à 

 l'autre pôle u — iK' est donc — n et, par la décomposition eu éléments 

 simples, nous obtenons 



La constante X se détermine en supposant w ;=; o ou Ç = a, ce qui donne 

 immédiatement 



» in[af + a.) H' ( w ) 



et l'expression cherchée se conclut de la relation 



D.log(;r + .j)=-DJog(^ + ,j)=-[X-^ + .j^^J 

 au moyen d'une fonction doublement périodique de seconde espèce : 



, . ,0(o)H(w — «)e'" 



Dans cette formule, x^ et j^, désignent les valeurs que prennent x et y pour 



