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 » J'observerai, en premier lieu, que, dans ce type particulier d'équa- 

 tions, le nombre des arbitraires se trouve réduit à 2« — (« -f- 1), c'est-à-dire 

 kfi — I . Je remarque ensuite que, les fonctions $,(?«) ayant toutes les mêmes 

 multiplicateurs, ces multiplicateurs seront nécessairement l'unité, puisque 

 l'une d'elles, $o(")' ^^' ""^ constante. C'est dire qu'elles deviennent des 

 fondions doublement périodiques de première espèce, ayant pour pôle 

 unique m = o, avec l'ordre de multiplicité maximum n + i. Nous avons, 

 par conséquent, l'expression 



$,.(«) = rt -+- è 4- + cD„-^ + . . . -h //Dr' -4-' 

 '^ ' sn'tt sn-« sn^« 



que la considération suivante va nous permettre encore de simplifier. 



« Et, d'abord, il résulte des expressions de $o(") ^t ^)(")> sous forme 

 de déterminants, qu'on a, en général, 



$,(«) = -D„a)o(«). 



La condition ^o(w) = const. donne donc 



$,(m) = o, 

 et l'on voit que l'équation d'ordre ii, analogue à celle de Lamé, a la forme 



r" + $2(«)r"~' + . . . 4- 0„(")?' = o. 



)) Je ferai maintenant un nouveau pas en appliquant l'un des beaux 

 théorèmes donnés par M. Fuchs, à savoir que le point singulier effectif ii = o 

 doit être, dans le coefficient $,•{«), un pôle dont l'ordre de multiplicité ne 

 dépasse pas i, pour que l'intégrale de l'équation différentielle soit une fonc- 

 tion uniforme de la variable. On a, en conséquence, les expressions sui- 

 vantes des coefficients, en remplaçant ii par u-{-iK.', afin de nous rappro- 

 cher autant que possible de l'équation de Lamé : 



$2 (m) = «0 -t- a, sn^u, 



<Pn{u) =70-4-7, sn^« -4- 72 D„ sn-u -+- y^B^, sn^u. 



» La question de déterminer les constantes a^, a,, ..., de manière à 

 réaliser complètement la condition que l'intégrale soit une fonction uni- 

 forme, offre, comme on le voit, beaucoup d'intérêt. Elle a fait le sujet 

 des recherches d'un jeune géomètre du talent le plus distingué, M. Mittag- 



