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 auxquels a déjà conduit leur étude dans une région restreinte de la sphère. 

 On voit ainsi : i° que, par tous les points de la sphère, sauf par certains 

 points singuliers, passe une caractéristique et une seule; a" que, par cer- 

 tains points singuliers, passent deux points caractéristiques; 3° que, par 

 d'autres points singuliers, passent une infinité de caractéristiques; 4° enfin, 

 qu'une troisième sorte de points singuliers est telle, que les caractéris- 

 tiques voisines tournent comme des spirales autour de ces points sans 

 qu'aucune d'elles aille y passer. J'appelle ces trois sortes de points singu- 

 liers les cols, les nœuds et les foyers de l'équation donnée. 



» Envisageant la distribution de ces points singuliers sur la sphère, je 

 démontre que le nombre des nœuds et des foyers surpasse de deux le 

 nombre des cols. 



» Après avoir démontré divers autres théorèmes, dont l'énoncé ne peut 

 trouver place dans ce résumé, j'aborde l'étude des courbes dans toute 

 rétendue de la sphère, et j'arrive au résultat suivant : la sphère est 

 sillonnée par une série de courbes fermées telles, i° que par les points 

 ordinaires passe une de ces courbes fermées et une seule; 2° que chaque 

 col soit un point double d'une courbe fermée ; 3° que par les nœuds et les 

 foyers ne passe aucune de ces courbes fermées. Parmi ces courbes fermées, 

 les unes ne sont pas des caractéristiques et ne touchent une caractéristique 

 en aucun point : je les appelle cycles sans contact; les autres sont des ca- 

 ractéristiques : je les appelle cjxles limites, parce qu'elles sont asymptotes 

 aux caractéristiques voisines. 



» Aucun cycle sans contact ne rencontre une caractéristique en plus 

 d'un point. La connaissance du système des cycles sans contact et des 

 cycles limites fournirait une idée complète de la forme géométrique des 

 caractéristiques. Je donne d'abord des exemples de cas où l'équation de 

 ce système est exprimable en termes finis; mais, comme cela n'a pas lieu 

 en général, je dois avoir recours à un autre procédé. De même que, faute 

 de pouvoir exprimer les racines d'une équation en nombres commensu- 

 rables, on les sépare et on les resserre ensuite dans des limites de plus en 

 plus étroites, je cherche à diviser la sphère en régions acycliques, que ne 

 traverse aucun cycle limite, et en régions monocj cliques, aussi restreintes 

 que possible, qui contiennent un cycle limite tout entier et n'en con- 

 tiennent qu'un. Je donne une méthode générale pour arrivera ce résultat, 

 et trois applications de cette méthode. 



» Les résultats qui sont rapportés dans ce résumé se rapportent au cas 

 le plus général; mais j'ai dîi examiner, dans le Mémoire, différents cas 



