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 nelle par une substilution algébrique, il faut et il suffit que F(.r, j) puisse 

 se mettre sous la forme 



(p'. + p',/-t-...+p',„_,r"')?^-è[P.+ 2P,j4-... +(/«-. )?,„_,:>'"'-'] 



dy 



l'y, P'j, ..., P'„,^, désignant les dérivées des fonctions P par rapport à x. 

 ^^f{^iy) = o représente une courbe luiicursale, cette identification peut 

 s'effectuer quelle que soit la fonction rationnelle F(.r, j). Mais, dans tous 

 les cas, à un système de valeurs données pour Po, P,, . . ., P,„_, corres- 

 pondra une classe de fonctions algébriques dont l'intégrale se ramène à 

 l'intégrale d'une fonction rationnelle. 



» Soit l'équation y- — (f[x-)<]^[x-) ^ o, 9 et '\i{x-) étant des polynômes 



entiers en x- et n'ayant pas de racines multiples. Prenons t — '^^ 



il vient 



9' et t|i' désignant les dérivées de 9 et vj/ par rapport à x"^. 



1-. v'7 (-'■") .1 . 



» Prenons i = — ^^ — ^1 il vient 



V7\ ^'f-f 



f^m 



tW/ 



dx = Jê{t)(Jt, 



f' désignant la dérivée de f{x-) par rapport à x'^. Ces formules com- 

 prennent comme cas particuliers celles qui ont été données par M. Her- 

 mite dans son Mémoire Sur imejonnule d'Eitler {Journal de M. Resal, janvier 

 1880). 



)) On déduit facilement, d'un théorème de M. Liouville, que toute fonc- 

 tion algébrique dont l'intégrale peut s'exprimer à l'aide de fonctions algé- 

 briques et logarithmiques se décompose en une somme de fonctions, dont 

 l'intégrale se ramène à l'intégrale d'une fonction rationnelle. « 



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