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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de fonctions de plusieurs variables 

 tirées de l'inversion des intécjrales de solutions des équations différentielles 

 linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles; par M. L. 

 FucHS. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.) 



« De même que ces fonctions de plusieurs variables que l'on appelle 

 fonctions abéliennes doivent leur naissance aux intégrales des fonctions al- 

 gébriques, en concevant, d'après Jacobi, les limites supérieiu'es de p inté- 

 grales d'une fonction algébrique convenablement choisie comme fonctions 

 de la somme de ces intégrales et de p — i autres sommes composées d'une 

 manière semblable, de même on fait naître une nouvelle classe de fonc- 

 tions de plusieurs variables, comme je le démontre dans mon Mémoire, si 

 l'on part des intégrales des solutions des équations différentielles linéaires 

 à coefficients rationnels comme fondement. 



» Je me suis proposé d'abord le problème de rechercher la nature des 

 intégrales d'une équation différentielle linéaire homogène de l'ordre m, en 

 supposant possible de définir z,, z^, . • ., z,,, comme fonctions analytiques 

 des variables «,, U2, . . ., «,„ par les w équations 



m 



r,2, .,,, m 



où Ç,,Ç2, •••, Cm sont des constantes,/, (z),/2(z), .,.,/„(z) un système 

 fondamental de solutions de l'équation différentielle. 



» J'ai complètement résolu ce problème pour les équations différentielles 

 du second ordre, et je suis parvenu aux résultats suivants. 



)) 1. Étant donnée l'équation différentielle 



(A) S + fl-Q^-». 



où p, Q signifient des fonctions rationnelles de z, soit f{z), (p{z) un sys- 

 tème fondamental arbitraire de solutions de cette équation ; que l'on défi- 

 nisse z,, Za comme des fonctions des variables «,, «2 P'ii" '^s équations 



(B) r J\z)dZ'\-i f{z)dz^Ut, j (p{z)dz-{'l (f{z)dz = U2. 



En supposant z, , z, fonctions analytiques de m,, 112 et en posant 



r., = F,(»,, 11.2), Zo = F,(«,, Un), 



