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 on obtient tout d'abord la propriété suivante de ces fonctions, 



F,\x,,u, + «ijMo-f- y, c, «21") + cinii'î -I- 72C) = F, (m,, n^), 



F2(«,| U, -+- Uf.lU-'r 7l c, «21», -1- «22^2 H- 72^) = F2(«|, Ho)» 



(C) 



où Ton désigne par c une constante, par a, ,, «121 «211 0^22 'es éléments d'une 

 substitution 



/«Il «lîX 



à laquelle on doit assujettir y (2), (35(2) lorsque la variable part d'une va- 

 leur et y revient en décrivant un contour fermé, et 7,, 72 étant des quantités 

 déterminées relatives à ce contour. 



» Les fonctions F,, Fo reprennent d'ailleurs en général les mêmes va- 

 leurs pour d'autres systèmes de valeurs de ff, , «2 en nondire infini. 



» 2. Soit rt, un point singulier de l'équation (A); soient 7'^', r'^' les racines 

 de l'équation fondamentale déterminante pour le point rt/, soient, en outre, 

 j,, ^2 les racines de l'équation fondamentale déterminante pour 2= co . Je 

 détermine d'abord ces racines de manière que, lorsque zi^, î/2 acquièrent 

 des valeurs pourlesquelles, des deux valeurs a, b que reçoivent respective- 

 ment les quantités s,, Z2, l'une coïncide avec un point singulier ou l'une 

 et l'autre avec deux points singuliers différents entre eux, sans que l'équa- 

 tion 



(D) 4^-4^=0 



soit satisfaite par z, = a, z^ = b, les dérivées partielles de z^ et z^ devien- 

 nent fonctions holomorphes de z,, Z2 dans le voisinage de z, =: a. 



z 



= b. 



j) Il est à remarquer que l'on comprend ici le point z^cc parmi les 

 points singuliers. 



» D'ailleurs, je fais la détermination de manière que, pour des systèmes 

 de valeurs finies de u,, Uo, z,, z, peuvent acquérir les valeurs indiquées. 



» Voici, à cet effet, les conditions nécessaires et suffisantes : 



(E) 



"i ' "i 



A,, «, des nombres entiers et positifs ; 



I /' 7 ^ 



.y, = 1-4--» *2=H--' Av>i» 



A, 71 des nombres entiers et positifs. 



