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» J'avais autrefois fait l'étude de la flexion des lunettes ; mais, à l'exemple 

 des ingénieurs qui ont traité de la flexion plane des solides de section 

 constante, j'ai alors calculé les moments fléchissants sans avoir égard à la 

 déformation du solide et obtenu une première approximation de la flexion, 

 qui a été utilisée pour calculer plus exactement les moments dont il s'agit ; 

 en un mot, j'avais pratiqué la méthode des approximations successives. La 

 solution du problème n'a pu être achevée qu'au moyen de développements 

 très étendus et peu propres à mettre facilement en évidence la loi du phé- 

 nomène. Revenant sur cette question, qui, au point de vue des applica- 

 tions à l'Astronomie, exigeait une solution précise, j'ai consulté inutile- 

 ment les Ouvrages français et n'y ai pas trouvé de solution directe^ pour 

 le cas d'un solide encastré obliquement à l'horizon et sollicité par une force 

 verticale agissant à son extrémité libre et par l'action de son propre poids. 



» La solution directe dépend de l'intégration d'une équation différen- 

 tielle linéaire du quatrième ordre, dont la caractérislique a une racine nulle 

 et trois racines distinctes; deux de celles-ci sont imaginaires et s'obtien- 

 nent en multipliant la racine réelle par les deux racines cubiques imagi- 

 naires de l'unité. 



)) Ayant effectué l'intégration par les méthodes en usage, qui con- 

 duisent à des combinaisons d'exponentielles avec des fonctions circu- 

 laires, j'ai été frappé de l'analogie de composition du résultat avec les 

 sinus du deuxième ordre (genre elliptique); il a suffi d'en grouper conve- 

 nablement les termes épars, pour reconnaître qu'effectivement la solution 

 se compose des trois fonctions de cet ordre, multipliées respectivement par 

 autant de constantes. Ce fut pour moi un trait de lumière. 



» Telle est l'origine de la méthode d'intégration des équations linéaires, 

 que je vais maintenant exposer, en commençant, pour plus de clarté, parle 

 cas le plus simple, et traitant successivement quelques autres cas plus com- 

 plexes. 



» Rappelons d'abord l'une des propriétés fondamentales des sinus des 

 ordres supérieurs. Les sinus de l'ordre m — i sont au nombre de m, dont un 

 cosinus, ou, si on le préfère, ils comprennent un cosinus et 7?2 — i sinus, en 

 sorte que le nombre des sinus proprement dits est égal au nombre qui sert 

 à en définir l'ordre. Le caractère du cosinus est de se réduire à l'unité quand 

 la variable est nulle, et celui des sinus est de s'annuler avec la variable. 

 Ces nouvelles fonctions se distinguent, comme les sinus du premier ordre, 

 en deux genres, l'un hyperbolique^ l'autre elliptique. 



