( 7^3) 

 » Pour comprendre dans des énoncés généraux les propriétés com- 

 munes aux deux genres, nous désignons les sinus de l'ordre m — i par 

 les notations 



9o^> «Pl-^. 'il^\ <P3-3^, •••, Çm-i-a^, 



où l'indice zéro sert à distinguer le cosinus. Lorsqu'il devient nécessaire 

 de spécifier les deux genres hyperbolique et elliptique, nous remplaçons 

 la lettre o par un £ dans le premier cas, par un^ dans le second. On a vu 

 dans les Notes rappelées plus haut que, pour tout indice p. différent de zéro, 

 la différentiation des sinus est comprise dans la formule 



(0 



df^.v 



dx — fV--^-^ 



et que, quand il s'agit du cosinus on a 



^^> dx 'U-^^^ î^enie I ^„ip,i^^^_ 



» Prévenons, une fois pour toutes, que les doubles signes que l'on 

 trouvera, dans nos équations, devant les fonctions ç) se rapporteront, le si- 

 gne supérieur au genre hyperbolique et l'inférieur au genre elliptique. 



» Des formules (i) et (a), on déduit inversement 



/Q\ r j .. ( u. étant différent 



(i) j Ç5(i,r dx = 'jiji+i X H- const. 



(le m — I . 

 (4) /ç>,„_i JT^X = ± 'j/jX -4- const. 



» Nous ne nous arrêterons pas à démontrer que, si l'on effectue m diffé- 

 rentiations sur les fonctions y, on aura, pour tout indice, y compris l'indice 

 zéro, 



» Chacun pourra vérifier aisément l'exactitude de cette relation fonda- 

 mentale dans la théorie des équations linéaires binômes, à coefficients con- 

 stants. Elle montre que la dérivée m'""*' d'un sinus de l'ordre m — i re- 

 produit le sinus lui-même, avec ou sans changement de signe, suivant le 

 genre de sinus. 



» Celte propriété, que l'on rencontre dans les exponentielles et les 

 sinus hyperboliques ou circulaires, permet, par exemple, d'écrire immé- 



