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diafement, pour intégrales des équations biuômes du deuxième ordre, 



— rp: r'r, = o, 

 f] — Co^osrx + c^^\\\vx et -/j = rocosrx + c, sin rjr, 



la première solution répondant au signe supérieur et la seconde au signe 

 inférieur. En nous fondant sur la propriété générale (5), nous allons expo- 

 ser la solution de l'équation plus générale 



d^n 



où r est une constante égale à la racine m^™" arithmétique du coefficient 

 de 1]. Il résulte assez évidemment de ce qui précède que la solution de cette 

 équation est 



(7) v3 = C„<po'"^ + C^o.rx -r C^_tf,rx + . . . 4- C,„_, (j3,„_, rx : 



on peut vérifier qu'effectivement celte solution satisfait à l'équation pro- 

 posée; elle contient d'ailleurs les constantes C^^ en nombre égal au degré 

 de celle-ci. 



» Avant d'aller plus loin, il convient d'indiquer les avantages d'une telle 

 solution. En premier lieu, il arrive que la détermination des constantes 

 Cjj. dépend de relations entre la fonction V2 et ses dérivées, relations qui, 

 le plus souvent, s'expriment par des équations du premier degré. Or on 

 observera que les dérivées de la fonction -/j s'obtiendront par un simple chan- 

 gement d'indice des Çix'-^» suivant les formules (i) et (2), et que le nombre 

 des termes restera le même pendant tout le cours des différentiations : la 

 détermination des constantes se réduira donc à la résolution d'équations 

 très faciles à former et à résoudre. 



» Si nous avions, suivant les méthodes usuelles, formé l'équalion carac- 

 téristique, il nous eût fallu déterminer les m racines, tant réelles qu'imagi- 

 naires, de l'unité et grouper les exponentielles imaginaires de manière à 

 les transformer en produits d'exponentielles à exposants réels, par des fonc- 

 tions trigonométriques. La présente solution dispense de tout calcul relatif 

 à ces transformations. Enfin, par les méthodes usuelles, la solution com- 

 prendrait un nombre, croissant avec le degré m, de termes formés par des 

 produits d'exponentielles réelles et de fonctions trigonoméiriques, lesquels 



