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donneraient naissance, lors des différentialions successives, à des nombres 

 de termes croissant avec celui des différentialions et exigeraient, chaque fois, 

 d'opérer avec soin les réductions qui peuvent résulter de calculs déjà ef- 

 fectués. La solution que nous proposons aux géomètres supprime fous ces 

 embarras, auxquels on n'échapperait qu'en partie, en conservant, dans le 

 cours des différentialions et éliminations les termes de la solution mis 

 sous la forme d'exponentielles imaginaires ; car les complications se repro- 

 duiraient finalement, lorsqu'il s'agirait de transformer les résultats en ex- 

 pressions dégagées de tout signe d'imaginarité. 



» Les résultats seraient certainement identiques avec ceux que fournit 

 l'emploi des sinus des ordres supérieurs; mais il serait difficile, et souvent 

 impraticable, de les reconstituer dans une solution ainsi obtenue et qui en 

 offrirait les éléments dans un état de confusion extrême. Or il y a, suivant 

 nous, une très grande imporlance à ne pas démembrer les fonctions cp^^x. 

 C'est qu'en effet les lois qui les régissent permettent d'opérer, dans leurs 

 combinaisons, des réductions du même genre que celles auxquelles donne 

 lieu l'emploi des fonctions hyperboliques ou circulaires. Quant aux cal- 

 culs numériques, si l'on ne possède pas de Tables des fonctions (p^^x, on a 

 (lu moins leurs expressions sous forme finie, au moyen d'exponentielles et 

 de fonctions hyperboliques ou circulaires. 



» Entin, nous devons signaler un cas très général où le calcul des mêmes 

 fonctions, par les formules rigoureuses, n'est ni nécessaire ni utile : c'est 

 celui où l'argument î^x est une petite fraction. Il est alors extrêmement 

 commode et avantageux de se servir des développements des fonctions 

 Çj^nr en séries. On sait que les exposants des termes du développement en 

 séries des fonctions circulaires ou hyperboliques croissent de deux unités 

 d'un terme au suivant; dans les sinus du deuxième ordre, ces exposants 

 croissent de trois unités; dans ceux du tn — i''^'"'' ordre, ils croissent de 

 m unités. Il est visible, par là, que les séries deviennent d'autant plus 

 convergentes que l'ordre des sinus est plus élevé. Il y a donc avantage à 

 conserver intactes les fonctions ©i^ra; jusqu'au moment où l'on se propose 

 de les réduire en nombres; car, en ne prenant pas cette précaution, on se- 

 rait en présence de produits de séries dont les exposants croissent seule- 

 ment d'une et de deux unités. Le cas dont il s'agit s'est précisément ren- 

 contré dans l'étude de la flexion des tubes de lunettes. Il est vraisemblable 

 que le même cas doit se présenter souvent, comme il arrive avec les sinus 

 du premier ordre, dans leurs applications de toute nature. 



