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telles que le déterminant 



D = 



■1 



-•■3 



P< P-2 l'i l\ 



<h 72 q. q,. 



s, 



■u 



soil nul identiquement {p,„ (/„, s„ désignant les dérivées de z„) ; il y a 

 entre ces fonctions une relation linéaire à coefficients constants : 



C, r-, + 



r 



C,,z,-r C, r, -- o. 



» 3° Soient c,, z.,, z^, r, quatre fonctions vérifiant les équations (2); le 

 déterminant précédent D satisfait à la relation 



les coefficients a, et p^ étant les coefficients de s dans les expressions de 

 -^) ^ tirées des équations (2) et mises sous la forme 



Is 



r- = a,i -I- aoW -!- y.3q + x^ r, 



h- 



[i,S-^ ^^p-r^ p3q +{^J.^- 



)> Il résulte de ce dernier théorème que, si pour a- = Xf,,f = ; „ le déter- 

 minant D n'est pas nul, il restera différent de zéro tant que x ^t y n'attein- 

 dront pas un couple de valeurs singulières. [Je dis que (2, v;) est un couple 

 de valeurs singulières si i — rt,/^, s'annule pour œ =^ c,j = vj, ou si les 

 coefficients n ei b des équations (2) ne sont pas développables en séries 

 convergentes de la forme 



^m,ii \'- 



?)"'(j----v;)", 



;7i = 0, fi — (I 



m et ?i étant entiers.] Si l'on appelle syslème fondamental d'intégrales un 

 système de quatre intégrales pour lesquelles D est différent de zéro, on voit 

 qu'une solution quelconque des équations (2) est une fonction linéaire à 

 coefficients constants des éléments d'un système fondamental. 



)) Soit {jc = S,j>' — vj)un couple de valeurs singulières; soitTune portion 

 finie du plan des x comprenant le point ^ ; supposons qu'aucun des couples 

 formés par /j et lui point de la surface T autre que ç ne soit un couple de 

 valeurs singulières, et que, j' restant égala ïj, les coefficients a et b des 

 équations différentielles soient des fonctions uniformes de x dans la sur- 



