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ANALYSE MATHÉMATIQUE. ~ Sur une classe de fonctions de plusieurs variables 

 tirées de l'inversion des intégrales de solutions des équations différentielles 

 linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles; par M. L. 

 FucHS. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.) 



« 3. Aux résultats que j'ai précédemment exposés ('), j'ajoute les sui- 

 vants. Je fais voir que le nombrep des points singuliers finis de l'équation (A) 

 ne surpasse pas le nombre 6, en supposant remplies les conditions (G). 



» Je marque ensuite l'exemple /2 = 6, rj"= — |, /-^''^ ^, et je fais voir 

 que, dans ce cas, l'équation (A) est satisfaite par le système fondamental 



oùB. {z) = {z — n,). . .{z — a,;), g{z),It{z) sont des fonctions rationnelles 

 et entières dont le degré ne surpasse pas l'unité. Dans ce cas, les fonctions 

 F, («,,«2)» F2("o "î) coïncident avec les fonctions hyperelliptiques du 

 premier ordre. 



» Puis je démontre qu'en général l'équation (A), sous les conditions (G), 

 n'est pas intégrable complètement par des fonctions algébriques, et que, 

 par conséquent, nos fonctions F, [11,, 1I2), F2{Uf,Un) sont différentes des 

 fonctions abéliennes. 



» J'y applique l'exemple suivant, compatible avec les conditions (G), 

 savoir nombre des points singuliers finis /5 = 2, r',"= — |, /-^''^ — i-, 

 /f = — |, / ■-'= — |, s, = f , s^— 2, et je démontre que l'intégrale générale 

 de l'équation (A) n'est pas algébrique dans ce cas. 



» A la fin je remarque que, les conditions (G) étant remplies, les équa- 

 tions (B) sont transformées par la substitution monodrome, mais générale- 

 ment non rationnelle, (F) en des équations semblables, dans lesquellesy"(z) 

 et f{z) sont remplacées par les racines carrées des fonctions monodromes, 

 mais généralement non rationnelles de Ç, et Ç prend la place de z comme 

 variable d'intégration. 



» J'ajoute le théorème suivant, qui est semblable aux théorèmes d'Abel 

 pour les intégrales des fonctions algébriques : 



» Étant données deux séries de valeurs de z arbitrairement choisies, l'une en 



[') Comptes rendus, nièrae tome, p. 6^8. 



