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 contenant un nombre quelconque n, savoir :^, s,,. . ., r,,^,, l'autre les valeurs Ç,, 

 Ç2, • • M -/,t-ai étaiit d'ailleurs données lesvaleurs qu acquièrent les fonctions f[z), 

 (p[z) qui font ensemble un système fondamental d^ intégrales de l'équation (A), 

 savoir J{Zi) = ai, f[^:] — Ui, 155(2,) = ^,-, ©(Ç,) = /3,-, on peut toujours trouver 

 deux quantités z^, z,, et d'une seule manière, satisfaisant à lu fois aux équations 



'^Jf{z,)dz,= 0, ^^£ 0[z,)d2, = 

 1 " 1 " 



et à une équation du second degré dont les coefficients sont des fonctions mono- 

 drames des quantités z-,, ^3, . . ., r„4.2, Ç,, Ço, ■ . ., Ç«+2» (ir2y b^, a,-, |3,-. 



» Ce théorème découle immédiatement du théorème énoncé à la fin 

 du n" 2. Enfin je remarque que, pour la discussion ultérieure des fonctions 

 F,,F2,il faut avoir recours aux résultats de mon Mémoire contenu dans le 

 Journal de M. Borcliardt, t. 76, p. 177. » 



HYDRODYNAMIQUE. — Sur la manière dont les frottements entrent en jeu dans 

 un fluide qui sort de l'état de repos, el sur leur effet pour empêcher l'existence 

 d' une fonction des vitesses. Note de M. J. Boussinesq, présentée par M. de 

 Saint-Venant. 



« M. Bresse a publié dans le Compte rendu de la séance du 8 mars 1880, 

 p. 5oi de ce Volume, une ingénieuse démonstration (') tendant à prouver 

 que, dans tout fluide homogène, même imparfait, dont les mouvements sont 

 bien continus, les composantes u, i>, u- de la vitesse !>uivant trois axes rectan- 

 gulaires des X, j, z égalent les trois dérivées partielles en x,y, z d'une même 

 fonction 'f, pourvu que cela ait lieu à une seule époque, conmie, par exemple, 

 quand ces composantes étaient d'abord nulles. Or, dans les cas nombreux où 

 des fluides peuvent être supposés incompressibles, l'existence de la fonction ip 

 a pour effet d'annihiler l'influence des frottements, vu qu'elle transforme 



l'équation de continuité ',-+,- + -'r = o en A.y = o, et qu'elle donne, en 



1 dx dy dz i ' j. 



conséquence, par ladifférentiation, Aj^^o, ..., o\xbi.UL-—o, ...,cequi 



(') M. de Sainl-Venant l'avait du reste déjà donnée dans un Mémoire du i'^"' février 1869 

 [Comptes rendus, t. LXVIII, p. 227), où il avait remarqué en outre (p. 280) que le frot- 

 tement des parois s'oppose à ce que la démonstration soit applicable au moins dans leur 

 voisinage. 



