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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — jïppUcntion (le la théorie des Sinus des ordres 

 supérieurs à l'intégration des équations différentielles linéaires ('); par 



M. YVON VlI.LARCEAlT. 



« Soit actuellement proposé d'intégrer l'équation 



où p désigne une constante positive, q une constante de signe quel- 

 conque et V une fonction explicite de x, et convenons que, dans le cas 

 où h serait nul, la dérivée de l'ordre h représente la fonction j- elle-même ; 

 nous poserons 



d'où 



faisant en outre 



(i5) m = k — h, r = '\p, 



l'équation (i3) deviendra 



djf' 



'l^r^-O^^, 



et son intégrale sera obtenue au moyen de la formule (7) et des va- 

 leurs (i i) des fonctions Cj^. 



» Il ne reste plus qu'à intégrer l'équation (i4)j or celle-ci donne, au 

 moyen de h intégrations successives, et en désignant par a^, a,, a.,, ■ . . , 

 «/,_, de nouvelles constantes en nombre h, 



œ' 





«A-i 



. 2 . 3 . . . ( /i — I ) p 1 . 2 . 3 ... A 



r -fidx''. 



» Par cette expression, jointe à la valeur de ri [formules (7) et (11)], 

 l'intégration de la proposée (i3) se trouve effectuée. 



» Pour peu qu'on y réfléchisse, on reconnaîtra que les sinus des divers 

 ordres offrent la solution la plus simple (je dirais la plus naturelle, si une 



(') Voir Comptes rendus, séance du 29 mars, p. 721. 



