{ 8io ) 

 » Soit F[x) =o une équation de degré n dont toutes les racines sont 

 réelles; désignons par a une quelconque de ses racines et posons, pour 



abréger, — ~ =. f[x) ; il est clair que l'équation f{x) = o a toutes ses ra- 

 cines réelles; par suite, son hessien [n — 2)f'-[x) — [n — ^)J['^)f"{-'^) 

 ne peut avoir une valeur négative , et, en particulier , l'expression 

 {n — 2)f'^[a) — («— i)y^(a)/"(a) est positive ou nulle. On a, d'ailleurs, 



3 ' 

 d'où la relation 



3(« - 2) F"^(a) - 4(n - i) F'(a)F"'(«)> o. 



» Supposons maintenant que le polynôme F satisfasse à l'équation diffé- 

 rentielle du second ordre 



P/' + Q/' + Rj^o; 



il satisfait également à l'équation 



Pj"'+(Q + P')r"+(R-hQ')y + R'jr = o, 



que l'on en déduit par dérivation, et de là résulte que F'" (a) et F'(a) F'" (a) 

 sont respectivement proportionnelles à Q^(a) et à 



Q^(«) + Q(a)P'(a)-P(a)Q'(«)-P(a)R(«), 



d'où l'on conclut facilement que le polynôme 



a une valeur positive ou nulle quand on y remplace x par une racine 

 quelconque de l'équation F(jr) = o. 



» Si donc on suppose que ù ne soit pas positif pour toutes les valeurs 

 de X (je remorquerai en passant que, s'il était toujours négatif, l'équation 

 proposée aurait certainement des racines imaginaires), on déduira de là des 

 limites entre lesquelles sont comprises les racines de cette équation. 



)) Considérons, par exemple, le polynôme du degré n étudié par M. Her- 

 mite dans sa Note sur un nouveau développement en série des fondions ( Comptes 

 rendus, t. LVIII), et qui satisfait à l'équation différentielle 



f- J^f + nf=-.o; 

 on trouve sans peine 



r> n -4-1 ^ 

 ii = n I — -X-, 



