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d'où l'on conclut que la valeur absolue de la plus grande racine est infé- 

 rieure à ^-==--, M. Hermite lloc. cit.) indique la limite v/^f" — i), nola- 



bleiueiit supérieure à la précédente. 



» Je considérerai encore le polynôme de Legendre X„ (jui satisfait à l'é- 

 quation 



[x- - I )j" + 2XJ - n[n+i )j = G ; 

 ou a 



il — {fl— \)(?l + 2] -X-, 



d'où l'on voit que les racines de l'équation X„= o sont, en valeur absolue, 

 inférieures à («— j)v/— r- 



» Une transformation très simple permet d'obtenir des limites plus ap- 

 prochées. En supposant d'abord n pair et égal à 2111, je poserai x^ =^ ^ et 

 déterminerai l'équation du second ordre à laquelle satisfait le poly- 

 nôme X„(\/|). En appliquant la méthode exposée ci-dessus, on trouve ai- 

 sément que les valeurs absolues des racines de l'équation X„ =^ o sont com- 

 prises entre les deux racines positives de l'équation 



4('« 



— {Zx- — 1)- -f- 2m[2in -h i) (a.-' — x-)->r 6x'' — 4^' -^-'i = o. 



» Pour 71 = 2, cette équation devient Sj?^— 1 = 0, et, pour « = 4> 

 35a;'' — 3ox'- -h 3 = o ; d'où l'on déduit exactement les racines des équa- 



tions Xj =: o et X^ = o. 



» Pour 7i = 6, on obtient l'équation 



429a;* — 398^;- 4- 21 = 0, 



dont les racines positives sont 0,2373.. . et 0)9335. . . ; les valeurs ab- 

 solues de la plus petite et de la plus grande racine de l'équation X^ = o 

 sont, d'après Gauss, o,2386... et 0,9325.... 



» Dans le cas où n est impair et égal à (2/?^ -f- 1), on obtiendra d'une 

 façon analogue, pour limiter la valeur absolue des racines, l'équation 



y- :(5a;- — 3)- -t- 2m{2m -h 3) {x'' — x-) + loa;' — i2a;^ + 6 = o. 



» Pour n = 3, cette équation devient 5x' — 3 — o, et, pour n = 5, 

 63a;* — 70a;- -I- 1 5 =:^ o ; d'où l'on déduit exactement les racines des équa- 

 tions X, = o et X5 = o. 



