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 moire. De plus, les deux généralisations du théorème de Fermât indiquées 

 dans la même Note sont des cas particuliers du théorème contenu dans 

 ma Note Sur l'extension du théorème de Fermât, généralisé par Euler, et du 

 Canon arithmeticus de Jncobi [Comptes rendus, 5 mars i8']'j). Nous avons 

 d'ailleurs énoncé la première de ces généralisations sous la forme suivante : 

 Le plus grand commun diviseur de U,„ et de U„ est égal à Uj, en désignant 

 par d le plus grand commun diviseur de m et de n. Cependant nous devons 

 ajouter que cette proposition fondamentale est due à M. Genocchi. 



» C;'est dans la réciprocité des lois sur les diviseurs des fonctions U„, 

 dont l'emploi me semble préférable à celui des fonctions cyclotomiques, 

 que l'on trouve l'explication de mes diverses méthodes de recherche des 

 nombres premiers. Ces lois conduisent à la connaissance de séries indé- 

 finies de théorèmes analogues à celui de Wilson et à celui de Dirichlet 

 sur la progression arithmétique. Voici plusieurs énoncés de théorèmes 

 wilsoniens : 



» I. Pour que p = 2''''^^ — i soit premier, il faut et il suffit que la fonction 



cjclotomique d'indice p -+- 1 soit divisible par p pour x = \l— i . 



n II. Pour que p^ ■?} -''^' — i soit premier, il faut et il sufft que la fonction 



cj^clotomique d'indice p-\- i soit divisible par p, en supposant x = 3\/ — i. 



» III. Pour que p = 2^'"^+^""*-' — i soit premier, il faut et il sujfit que 

 la fonction cyclolomicjue d'indice p + i soit divisible par p, en faisant 



» Plus généralement, connaissant x et n = a'^b^c''. . ., on peut calculer 

 de diverses manières deux nombres v et ^, de telle sorte que l'on ait, pour 

 'U„{x) premier, la congruence 



U,(^)eeso [mod. U„(.r)], 



et réciproquement. On doit choisir v parmi les diviseurs de Vindicaleur 

 quadratique a"-' U''-'c^-\.. [a''— ■i){h^—i)[c--\)... de n. 



» Quant à l'application de la théorie des diviseurs de la fonction \ii[x) 

 à l'équation cubique, elle constitue un grand progrès dans l'analyse indé- 

 terminée du troisième degré, dont la Science est entièrement redevable à 

 M.Sylvester; mais nous ferons à ce sujet les deux remarques suivantes : 

 1° Le théorème énoncé à la page 289 des Comptes rendus est trop général, 

 et il n'est pas exact de dire qu'aucun nombre A de la forme 



