( 939 

 d'où 



<\i = Az-i-C, 



équalion qui représente bien la famille des hélices. 



y> Nous allons appliquer maintenant les formules ci-dessus aux lignes 

 tracées sur un tore. 



» Soient b ~ CO la distance à Oz du centre C du cercle générateur, dont 

 le rayon est ;nC ^= a,etf son inclinaison sur OC. Nous supposerons, en nous 



basant sur des considérations exposées plus haut, -^ = i ou < — 9. Nous 



avons 



r = b -h acoscp, z — rtsiny, dG = afI(p, /3 = ip +- 90°. 



» En posant ~ = u, les formules (3) et (5) deviennent 



T = (é -f- acoso) siïïfii', 



P = (b -h a cosœ) 2ua sinç» 



tangi= î «. 



» Nous ne nous occuperons ici que des lignes géodésiques du tore, qui 

 sont données par 



h -\- a cos <p\ ^ . •< / ï \ du 



1 sinç .71" = {o -h a coso) 2uasin f. 



Si l'on multiplie par u, et que l'on pose u^ = v, on trouve 



du LaviWio i[b ~>r acc>%m\ , . 



3 7 — — — \r SU! 2/ = O, 



ciij + a cos y a ' 



d'où, en divisant par v'^, 



c ^asm'f r ^ 2 (i -)- a cos<p) siiKp _ 



(f ç 6 + fl cos j. (' ' a ' 



équation différentielle linéaire en -dont l'intégrale est, en désignant par G 

 une constante. 



d'où 



d^= "'^ , 



b +acosip)'t/( 



[h -\- acos'^Y 



