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 il se met à couler par filets rectilignes et parallèles sous l'action d'une force 

 accélératrice constante. En effet, que la force accélératrice provienne, dans 

 le tuyau ou le canal, soit d'un excès de la pression d'amont sur celle d'aval, 

 soit d'une pente de superficie, l'influence retardatrice de la paroi sensible- 

 ment plane comprise entre deux génératrices peu distantes du lit prismatique 

 ou cylindrique ne se fera d'abord sentir, avec une intensité appréciable, que 

 dans la région voisine 'de cette paroi même, en sorte qu'il se passera un 

 certain temps avantque les influences analogues des autres parois atteignent 

 cette région, et qu'on pourra, par suite, vers le commencement du mou- 

 vement, y évaluer les variations de la vitesse comme si le fond (c'est- 

 à-dire la paroi considérée) avait une largeur indéfinie et la masse fluide une 

 épaisseur également indéfinie. Le cas traité dans la Note du 29 mars est donc 

 l'expression la plus simple de ce qui se passe au début de tout écoulement fluide, 

 et il en montre le mécanisme général, dégagé des complications accessoires. Aussi 

 les valeurs de la vitesse y comportent-elles une forme (inie ou ne contenant 

 du moins qu'une intégrale définie simple. 



» Au contraire, la formule de la vitesse se complique énormément et de- 

 vient la somme d'une infinité de solutions particulières quand on considère 

 la période suivante, où chaque filet fluide est désormais soumis à la force 

 accélératrice donnée et aux influences retardatrices de toutes les parois ('). 

 Mais, la fonction ç) ne s'étant pas conservée dans la première partie du phé- 

 nomène (à l'origine duquel elle existait), il n'y a plus lieu d'espérer qu'elle 

 se produira, et c'est bien ce que montre la forme même des solutions parti- 

 culières (simples), dont l'une, la moins complexe, exprime l'état permanent 

 ou de régime vers lequel tend le mouvement, tandis que les autres con- 

 tiennent en facteur des exponentielles affectées d'exposants négatifs propor- 

 tionnels au temps. En effet, dans chacune de ces intégrales simples, la 

 vitesse est inégale pour les divers filets, condition sans laquelle il ne se 

 développerait entre eux aucun frottement. Or, si la fonction tp existait, les 

 surfaces f = const., perpendiculaires à tous les filets fluides, ne pourraient 

 différer notablement des sections normales du lit, sections équidistnntes, et 

 la vitesse, alors égale à la dérivée de 9 dans le sens normal à ces surfaces, 

 aurait, au moins à très peu près, la même valeur pour tous les filets. Il y a 



(') Voir, pour ceUe question, les§§ II, III, IV et VII d'un Mémoire Sur l'influence des 

 frottements dans les mouvements réguliers des fluides, au Journal de Matliémaliques pures 

 et appliquées de 1868 (t. XIII). Les formules de l'état variable ne sont réellement acces- 

 sibles que dans le cas d'un tube plein dont la section est un rectanjjle de base indéfinie. 



