( 974) 



» Enfin on trouve facilement que : 



» Les pieds des perpendiculaires abaissées du centre o d'un ellipsoïde sur les 

 cordes vues de ce point à angle droit occupent dans l'espace une région qui est 

 limitée par une surface de l'onde. 



)) Dans une prochaine séance, je ferai connaître les généralisations de 

 quelques-uns des résultats renfermés dans cette Note. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le calcul numérique des intégrales définies. 

 Note de M. B. Baillapd, présentée par M. Hermite. (Extrait.) 



« Gauss a montré que, si dans l'évaluation de l'intégrale 



I 



jdt 



f 



on remplace j- par un polynôme entier du degré re, ayant les mêmes valeurs 

 quej pour ?i-hi valeurs de t, on aura la plus grande précision possible, 

 en posant 



x = i — 2t, 



et choisissant pour les « + i valeurs de a; les racines de l'équation 



X„+) =o, 



X„^., désignant le n+ 1''^™^ polynôme de Legendre. La démonstration donnée 

 par Gauss est difficile; Jacobi est parvenu au résultat par une voie extrê- 

 mement élégante; il sera peut-être utile de remarquer que les idées de 

 Gauss donnent le résultat en quelques lignes comme il suit. 



» On reconnaît aisément que les valeurs de t sont les racines d'un 

 polynôme 



T = i"+' -+-«,!!"+ «2 1"-' +...-{- a„^, , 



dont les coefficients satisfont aux « + i équations suivantes : 



M,= -; Ht—; 1-.. .+ 7 h- 7— ; =0 [fl — ï, 2, ... «-+-l). 



Or ces équations se résolvent immédiatement ainsi : 



» La fonction [t. ne diffère que par un facteur constant de celle-ci, 



_ (/,_i)|A_2)...(/; — « — i) 



h[li -^ l] . . . [h + n -\- 1) 



