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 » Si l'on décompose v en fractions simples sous cette forme, 



Bo Bi B„+i 



V = — -H 1 h -, 



h /i H- I h + n + 1 



on trouve 



W —( _ ,\n+\ [p + ^)(p + ■>■]■ ..{p-^n-\-i) 

 "' ^ ' (-/>)(-/> + .)...(-;' + « + .)' 



en supposant que l'on n'écrive pas au dénominateur le fadeur qui serait 

 nul. 



» Les quantités 



B„ B„_, 



"n+t B„_(_i 



sont respectivement égales à 



a,, «2, . ... 



Donc le polynôme T est le suivant : 



2/2 + 2 1 (2«-t-2)(2« + l) 1.2 ''"' 



OU, en ordonnant suivant les puissances ascendantes de t et divisant par 

 le terme indépendant de t, 



i = I t H { -1-. . . 



I I 1.2 1.2 



= F[n + 2, — (7z + i), I, t], 



F(a, |3, y, x) désignant la série hypergéométrique. 



» Si l'on désigne par P„^_, ce que devient X„^., quand on y remplace x 

 par cos5, on a 



P„+, = F|^7i + 2, -(« + ]), i,sin-^J. 



» Si donc on pose 



I — 2t = JC, 



T deviendra la {71 -+- i)'^""^ fonction sphérique X„+,. 



^1 La méthode précédente s'applique aussi à la recherche d'une fonction 

 de la forme 



X Xi . X X2 . -V -^yn-ht 



sm sm • • • sin 5 



22 2 



satisfaisant aux conditions suivantes : 



r ?(-^)s°n^^-^^^-^'^" (/>=:0, I, 2, .. ,«). 



