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 dère l'identité suivante indiquée par Didon [loc. cit., p. 267), 



{7) { ^ r r Q("'-^)-Q("-'' 



JJ{-'i){'-rJJ{'-'^(' 



JJi-^H 



II 



-+- xxff^{a;,J-, u, v)f{u, v)dudv, 



où ^(.r, 7', «,»>) désigne une fonction entière de x,y, u, v. 



» Dans le développement du second membre de cette identité, suivant 



les puissances décroissantes de x et j", les termes de la forme -^^^ h et k 



étant des entiers positifs ou nuls, proviennent de la troisième intégrale seu- 

 lement; en effet, la première intégrale est une fonction entière de x conte- 

 nant a; en facteur, la deuxième une fonction entière de j- contenant j- en 

 facteur, et la quatrième une fonction entière de x et / contenant xj- en 

 facteur. Mais, dans le développement de la troisième intégrale, le coeffi- 

 cient A^^. de -J^ est 



coefficient qui, d'après (6), est nul dès que h et /t vérifient les conditions (5). 

 La proposition est donc démontrée; et, quoique la démonstration suppose 

 remplies les conditions (i), il est évident que la proposition est vraie quels 

 que soient a, a', 7. 



Dans le cas particulier où l'on a 7 = a 4- a'-f- i, le polynôme Q(a;,/) 

 est (p. 734 de ce Volume), à un facteur constant près, égal à 



Fa (— m — ", m ■+- a, n -h a', tx, a', œ, y). 



» J'indique, en terminant, les expressions des séries F, et F^ sous forme 

 d'intégrales doubles, 



( ffu^-' l'P'-' (i - M - i;)v-P-P-' {i- ux - vyY^dudv 



(8) 



= ^^^^^/^F^^'f.(..P,P',7,^.7), 



l'intégration étant étendue aux mêmes valeurs que toutes les précédentes 



r C u^-'v^-'{ï-up-^-*{i-i'Y-?'-'{i-ux-i>r)-^dudv 



(q) 1^0 -^^ 



r(yjr(7') F2(a.P,P,7W'^'r)- » 



