( ioa3 ) 

 » 0° Pour n — k impair, 



2.4...(«— /t-f-l) 2. 4... (//-h X -+-,) "^ ^" ' 



OU 



n -1- I 



""^ (n+ 3)» — /- 1.2.3 



(^) ; (1.0) = ^L^i a -t- ("'^^^'~''' (" + ■)(" + ->■)(" + 3) 



(„H_a)'— X-' («-t-4)'-^2 („-+-, )...(„ + 5j ^^ 



(« + 3)'— /■= («4-5)'—/' I...5 



» On reconnaît clans les deux expressions ci-dessus de <Ï>J,*' des coefficients 

 que l'on rencontre dans le développement du polynôme X^ de Legendre, 

 où la variable est ar = cos0, ce développement procédant suivant les co- 

 sinus des multiples de 9. 



» C'est qu'en effet on aurait pu remplacer le développement (i)par le 

 suivant, 



^ ' = H-aX, + a-X2+..., 



yi -+- a' — 2 a COSO 



et l'on en aurait déduit aisément que notre transcendante B'f est le coeffi- 

 cient de cos^S dans le développement de l'expression 



^«Y ^ " + '„«+< Y (/; + ■)(/?+ 2) 



» En remplaçant dans cette expression les fonctions de Legendre par leurs 

 développements connus suivant les cosinus des multiples de (3, on retombe 

 sur les formules (5) et (6). 



» III. Je vais faire connaître deux limites comprenant la transcendante BJ,*'. 

 Je suppose d'abord n — k pair; je tire de (5) 



$(*)^ j ^ {n-^\)[n + i] ^, _^ [n + x][u-^i.][n-^Z)[n-\-t^ ) ^ , ^ _ _ _ 

 " 1.2 1.2.3.4 



ou bien 



2$L"<(i - a)-«-' ^ (i + a)-"-'; 



il en résulte cette inégalité 



,.z...[n-k-x] .■3...(/. + /î--i) if/ « y^' , / g V'^n 



\7i ^" ^ 2. 4. ..(«-/■) 2. 4. ..(« + /■) «Ll^,-a/ "^^i+aj J" 



» En partant des mêmes formules (5) et tenant compte des inégalités 

 suivantes, 



Il ^ 



[n +4)=— X-' -^ («-(-2)'— /l-^ 

 (/» + 5)'— it' (/7 + 3)'— X-^ 

 (72 + 6)'— A' -^ («-+-4)^— X^' 



