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 un système fondamental d'intégrales. On voit sans peine que 



( ni ) U,„ Un + V^ V„ + ÎV„ W„ = C,„„, 



772 et « désignant l'un des nombres i, 2, 3, et /«pouvant être égal à «; lesC 

 sont des constantes. Supposons d'abord que le système (II) soit formé de 

 fonctions de seconde espèce aux multiplicateurs respectifs X,, Xo, X3 etX'j, 

 X'2, X'3. Admettons que les constantes C,,, C22) C33 ne soient pas toutes 

 nulles; soit, par exemple, C,, différent de zéro : on aura alors nécessai- 

 rement \\, >,,'= i, ce qui démontre le théorème. Si ces trois constantes sont 

 nulles, il ne peut en être de même à la fois des trois autres, car les six 

 constantes C ne peuvent être nulles à la fois; on aura, par exemple, C,, 

 différent de zéro, d'où l'on conclut XjX, =: X', X'2 ; mais le déterminant formé 

 par le tableau (II) a une valeur constante différente de zéro : c'est ce que 

 l'on voit aisément. Ce qui montre que XjXjXj = X'jX'jX'j = i, d'où nous con- 

 cluons X3 = X'3 = I, ce qui établit notre proposition. 



» Nous avons supposé qu'un système fondamental était formé de fonc- 

 tions doublement périodiques de seconde espèce. Supposons que nous 

 n'ayons que deux systèmes d'intégrales de cette nature, îf,, f,, iv, et m,, 

 fj, tVj. Nous pourrons compléter notre système fondamental par un sys- 

 tème Mo, l'o, u'2, tel que 



ii2(«-f-2R) = X, «2(^)4- (ZM, (i), 



i^2(' + 2R)=X, v._[i).-\- av^ {t), 



a étant une constanlej et l'on a pour l'accroissement siK' des équations 

 analogues. Ceci établi, on conclura de ce que tous les C ne peuvent pas 

 être nuls, soit Xj = i, soitXg^i, soit X,X, = 1. Oron a d'autre part, 

 puisque le déterminant formé par le tableau (II) est une constante, 

 X^Xg = I, et l'on voit que dans ce cas il y aura toujours un des multipli- 

 cateurs X,, X3 égiil à l'unité. 



» Enfin, dans lecas où iln'y aqu'un seul système d'intégrales doublement 

 périodiques M,, p,, n\, les deux autres systèmes jouiront des propriétés 

 suivantes : 



[(^{t + aK) = X,î<3(f) -f- bu2{t), . . . , 



a et b étant deux constantes ; et, en employant le même genre de considé- 

 rations que précédemment, on établira que X, est égal à l'unité. 



