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MEMOIRES PRESENTES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions linéaires. 

 Note de M. A.-E. Pellet. 



(Renvoi à la Section de Géométrie.) 

 « Soit 0(x) — ^' une fonction linéaire, n, b, a\ h' étant des con- 



^ ' a .r -'t- u 11'' 



stantes satisfaisant à la condition ah' — /^/î' différent de zéro, et considérons 

 la suite 



(i) X, 0{x\ 5=(x), ..., 5'"(.r), ..., 



où ^^[pc] représente 5[0(j:)] et en général 5'"(x) = 5[5'"^'(.'r)]. 



» (}/ (a") étant une autre fonction linéaire, la suite ij; ( jr ), i|)5(j?), ...,ij;5'"(.r),... 

 contient le même nombre de termes distincts que la suite (i). Si l'on pose 

 i|>(j:) = 7\ ^^(•■ï') = 7,(j")> y\y) sera une fonction linéaire, et l'on aura 

 '^^"'{x) = yl"[j-). Si l'on connaît la suite ;•, /(jr)» ••■, /'"(/)? ••••. o" 

 pourra en déduire les termes delà suite (i) par l'équation tj;5"'(,r) = /.'"(/)- 



T. -t- \ 



» Prenons ^ix') —■ ~ — —) X — À' étant différent de zéro. On aura 



_\'y — \ , , _ [a'W — b "i. + aV — b]y — n')? + ( // — nM -+- h 



^' ~ i—r' '^■^'^' "" |_rt')."— [f — «)X'— b\r — a'-M + b' I.' — a\ + b' 



» Deux cas sont à considérer : 



» Premier cas. — L'équation a').- — (// — a)l — ^ = o a ses deux ra- 

 cines distinctes. En prenant pour X et X' les valeurs de ces racines, il vient 



/(7) = y.y- a, égal à ^.'-PziTî^b' ^^' ''^""^ ^^ l'équation 



{a + b'Y^o.(a'b-/,b'] 



— « + I = O. 



Il en résulte 7;"(j)-a'"j, ^'"(^) ^ ^'-;;^;^^ -^j;;^^^'' - 



« Si aucune des puissances de a n'est égale à i, tous les termes de la 

 suite indéfinie (i) sont distincts. Dans le cas contraire, soit fi la première 

 puissance de « égale à i; 6v-{x) — x; la suite (i) est périodique et ne con- 

 tient que p, termes distincts. 



» De ce qui précède on déduit la proposition suivante, qui permet de 



