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brique ; on les trouve notamment clans les travaux de MM. Briot et Bou- 

 quet. En revenant aux mêmes questions, j'ai essayé d'utiliser les progrès 

 de la théorie des fonctions ou courbes algébriques. 

 M Soit donnée une équation algébrique 



(.) . /(■'•. :^)=°. 



del'ordrep. en y ) et de l'ordre p.' en a; je me propose d'en déduire une re- 

 lation algébrique 



(2) ¥{a:,r + c) — o, 



s'il est possible. En déterminant la forme de l'équation (2) à un nombre 

 fini de constantes près, l'identité des valeurs de -.- déduites des deux équa- 

 tions, qui doit avoir lieu, me fournira le moyen de déterminer les constantes 

 ou, si cette détermination est impossible, de voir que l'intégrale cherchée 

 est transcendante. 



» J.e degré de l'équation (2) en c devant être le même que celui de (1) 



en ~, l'équation (2) sera du degré p. enj.W suffira donc, pour déterminer 



l'ordre n des courbes représentées par l'équation (2), de déterminer la 

 multiplicité v du point J à l'infini sur l'axe ^ = o ; on aura alors 



(3) H — a + V. 



» On pourrait déterminer v par des développements en séries (') , mais 

 nous préférons nous servir du lemme suivant ('-) : 



» Soit donné un point singulier d'une courbe à une seule tangente, et soient r le 

 degré de multiplicité du point, r' celui de la tangente : alors le nombre de points 

 d'intersection coïncidents de la tangente ainsi que le nombre des tangentes coïnci- 

 dentes par le point seront tous deux égaux à r -h- r'. 



M On en déduit que la multiplicité v d'un point singulier quelconque 



(') En erfet, ces développements seront possibles si la courbe est alj^ébrique, et, dans 

 le cas actuel, une série contenant un coefficient arbitraire n'appartiendra que pour une seule 

 Valeur de ce cocfiicient à une seule des courbes (2). 



['] Je crois que M. Stolz a publié le premier ce lemme, utile à beaucoup de recherches 

 [Matheniatische Annakn, t. VIII) ; M. Nôther l'a trouvé aussi dans un travail indépendant de 

 celui de 31. Stolz ^Matli. Ann., t. IX]; le théorème II énoncé par M. Halphen à la page Sa 

 du Bulletin delà Sucicté mat/icmatiquc, t. IV, en est une généraiisutiou. 



