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 d'une courbe algébrique est égale à la différence n' — cj'enlre la classe /i'de 

 la courbe et la somme a' des degrés de multiplicité de toutes les tangentes 

 passant par le point, y compris celles qui l'ont pour point de contact. 



» Appliquons ce dernier théorème au point singulier J des courbes (2), 

 et supposons que la droite à l'infini J' soit tangente v'-tuple. Soit l' la 

 somme des degrés de multiplicité des autres tangentes par J. Alors on aura 



(r'=T'+v' et «' = /J.' -H v', 

 et par conséquent 



(4) v = p.'-T'; 



p.' est déjà connu, et '.' se détermine de la manière suivante : 



» Qu'on cherche toutes les valeurs finies x = a qui rendent -— = 30 ou bien 

 — — o; quon développe ensuite (en se servant au besoin du parallélogramme 

 de Newton) toutes les séries possibles 



^ = A, (jT — a)' + A, (;r — nY + . . , 

 <■/>■ 



où /, , /o) • ■ • ont des valeurs entières, positives et ascendantes : alors je dis que r' 

 sera écjal à la somme, étendue à toutes ces séries, dont chaque terme est le plus 

 petit des deux nombres s et f,. 



M 11 suffit donc de déterminer les valeurs de ces deux nombres. 



» En effet, si .y >> f,, on trouvera la série suivante, 



convergente pour de petites valeurs de .r — a. Toute courbe du système 

 aura une seule branche (système circulaire) représentée par cette série (si 

 elle en avait deux, x serait une fonction périodique de j). A cette branche 

 correspond, avec les notations de notre lemme, r — s — t\ , r + ?'' — s, et, 

 par conséquent, la droite x ~ a sera tangente ^,-tuple de cette branche. 

 1) Si, au contraire, ^^;^, l'intégration opérée ici devient impossible. 



Alors s des ij. racines -7- de l'équation (i) ne donneront aucune branche ordi- 

 naire d'une courbe du système. La droite x — n sera une partie d'une de 

 ces courbes (intégrales particulières), et, pour les autres, s des p. points 

 d'intersection avec la droite se seront éloignés à l'infini ; s sera alors, avec la 



