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ciées, forment des couples de valeurs singulières. Supposons que x e[j 

 restent dans leur plan respectif à l'intérieur de deux contours A et A'. Une 

 classe particulièrement simple de fonctions de ces variables sera la classe 

 des fonctions, uniformes ou non uniformes, jouissant de la propriété sui- 

 vante. Soient x,, x^, . . . , x,„ et ;,, J'a- ■••,;'« certaines positions de j: et j 

 en nombre fini dans A et A' ; nous supposerons que, dans le voisinage de 

 toute valeur a de a; et ^ de j ne coïncidant respectivement avec aucun des 

 points a-,, X.2, ..., x,„ et j»,, };,,...,;•„, la fonction soit holomorphe par 

 rapport à x et à /. On peut étendre aux fonctions de ce genre divers ré- 

 sultais relatifs aux fonctions d'une seule variable et se poser à leur égard 

 divers problèmes sur lesquels je compte revenir; mais c'est l'étude d'une 

 classe particulière d'entre elles que j'ai eu tout d'abord en vue. Supposons 

 que les aires A et A' soient les plans tout entiers des x et des j', et soient 

 o, I et co les positions singulières pour l'une et l'autre des variables. Je 

 considère une fonction non uniforme F(.r, j') telle qu'entre quatre 

 branches quelconques de cette fonction existe une relation linéaire et ho- 

 mogène à coefficients constants. Soient X,, Xo, X, un système d'indices rela- 

 tif au point a; = o, et de même /J.,, p-o, p.3 et v,, Vo, Vj des systèmes d'in- 

 dices relatifs aux points a: =^ i el œ ^ x . On aura pareillement pour^" des 

 systèmes d'indices formés avec les mêmes lettres accentuées. Nous admet- 

 tons que dans le voisinage de x = o, r ayant une valeur quelconque dif- 

 férente de o, I , ce , trois des branches de F aient la forme 



x'^'i{k„+ A,x -h . ■ ■), 



^^■'■..(Co + G,. r + ...), 



les A, B, G étant des fonctions holomorphes de y, pour toute valeur dis- 

 tincte de o, I et co ; et il y a des déterminations de même forme dans le 

 voisinage des autres valeurs singulières tant pour j que pour .r, les expo- 

 sants étant dans chaque cas ceux qui sont relatifs à la valeur considérée. 

 On suppose enfin que 2: ()., + f;., + v,)-— - ( X'^ + [j.\ -+- v', ) = o. 



» On peut se proposer d'étudier les fonctions jouissant des propriétés 

 précédentes, moyennant, s'il est nécessaire, d'autres relations entre les 

 indices. On voit que le problème que je viens d'énoncer est la générali- 

 sation de celui que s'est proposé Riemann dans ses belles recherches sur 

 les fonctions hypergéoniétriques d'une seule variable (Riemann, Malhema- 

 tisclie JVcrke^ p. G2). 



» 11 existe évidemment un système d'équations linéaires aux dérivées 



