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MÉCANIQUE CÉLESTE. — Su7' des transcendantes qui joiienl un rôle fondamental 

 dans la théorie des perturbations planétaires. Note de M. O. Callaxdreau, 

 présenlée par M. Tisserand. 



« L'objet de cette Note est la démonstration de l'important théorème 

 communiqué par M. Tisserand dans la séance du 3 mai. 

 » Dans la formule 



cos m fl fia 



=• r - 



2 a cos 6)^ 



j sera toutefois supposé compris, comme <z, entre o et i. Je me j)ropose 

 de démontrer que la valeur de 



(0 



r/"il," 



1.2. . .n doi" 



tend vers zéro ou l'infini suivant que la somme a -f- x est inférieure ou su- 

 périeure à l'unité; ces deux résultats seront des conséquences de la valeur 

 de l'expression précédente pour ii très grand. Dans cette recherche, que 

 M. Tisserand a bien voulu m'indiquer, je me suis inspiré du bel Ouvrage 

 de M. Heine sur les fonctions sphériques. 



» Le point de départ est l'expression de la transcendante bj'" par une 

 intégrale définie 



^,„„ ^ 2_su^ ^,„ r'(i - aV)-^'«-^-'(i - r)-'dr 

 ou, en remplaçant r par /- sous le signe d'intégration, 



br = ^^^^^ r a'" /•'" ( I - a-r- )-' /•'"■*-•"- ' ( I ~ /" )-V/-. 



» Envisageant d'une manière spéciale le facteur i — a/', on pourra 

 développer le produit a'"r'"(i + a.r)~^ en série convergente ordonnée sui- 

 vant les puissances du premier facteur; on aura ainsi une suite d'intégrales 

 qui, abstraction faite de coefficients numériques, se déduiront de la 

 première, 



^^^^^2-^ r'(i - ur)-'r"'---'-'{i - r')-'dr, 



Jo 



en ajoutant à — s des nombres positif i, et il est aisé de voir que les dérivées 



