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 courbe de l'ordre (3" -h i)-, qui se compose : i° de la courbe d'intersec- 

 tion, d'ordre 3", du plan «i avec la surface T„ qui lui correspond; 2° des 

 courbes (A'B'),, où (A'B')^ compte pour une intersection du {^y ,y(»-!-i)y^<«<> 

 ordre et l'ensemble de toutes les courbes (A'B')^ pour une courbe de 

 l'ordre 1 3"-' ( 3"— i); 3" d'une courbe gauche A„, d'ordre 2 .3"+ i , par 

 conséquent. Cette courbe est le lieu des points dont les n'*""^' transformés 

 sont, avec les points eux-mêmes, situés sur des droites passant par le 

 point (nb). 



» A„ liasse 3""'-' fois par A', , B', , C', , D^ . Il faut trouver le nombre des 

 points oii A„ rencontre les courbes (A'B'),. Le plan A'B'C contient deux 

 droites variables des U^ et U* dont le point d'intersection appartient à A„ : 

 ainsi, sur chacune des arêtes A' B' sont situés i(2 . 3"— 3.3""')=: 3"~' points 

 de A„. Alors je prends le premier transformé S, du plan A'B'C; 5, coupe 

 d'ailleurs les Ua, Uj suivant deux courbes planes du troisième ordre qui 

 ont trois points communs. Les 5, et A„ se rencontrent, en outre de ces 

 points et des points A', B', C, D', A', , B', , C, , en 



3(2.3"-^ i)~ 3- 8. 3"-'- 6. 3"^' -3.3"-= =r: 3" 



points; donc le A„ et la courbe (A'B'), se rencontrent en 3"~' points. En em- 

 ployant successivement les .y'^"'" transformés du plan A'B'C, on trouve que 

 A„ a, sur la courbe (A'B')^, 3" ' points autres que les points fondamentaux 

 et leurs transformés. 



» Cela posé, on prend la surface U,.. Les points communs à A„ et à U,. 

 sont : 1° les A', B', C^, D^, qui comptent ensemble pour 82", 3='*-"; 2° les 

 points de A„ sur les courbes (A'B')j, qui comptent pour 6. 3""' 2", 3^-' ; 

 3° 2.3" points qui dépendent de ceux dans lesquels la droite c coupe le 

 cône qui a pour sommet le point {ab) et pour directrice la courbe A„; 

 4" les k points de l'espace qui correspondent à eux-mêmes, et 5° un 

 nombre Z de points dont il faut que les «'*""" transformés coïncident avec 

 eux, Z = 2 . 3" 4- 2 — A". 



» Donc k = S. Voici un théorème sur ces huit points, qui peuvent être 

 appelés poiiUs doubles de l'espace : Ils sont huit points associés dans le système 

 linéaire de surfaces du second degré qui est formé par les quatre paires de plans 

 BCn, B'CD', .... 



» Mais, en considérant que, si ley*"° transformé de /j coïncide avec /?, il 

 en est de même pour le n''"'" transformé quand/ est facteur de n, on doit 

 donc écrire 



Z„-i-2Z.= 6(3"-'- 1), 



