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» En changeant .-r enj', rt, en ci„_,-, on aurait une proposition récipi'oque. 



» Posons enfin 



C,„ -:: g(rt„, a,. ... n„); 

 il viendra 



C,„--^6{e^a„e'''n , e^a,,), 



et, puisque a = e^*C,„, nous aurons cette relation remarquable 



e^-'Q{ao,a,, .. .,a„) - 6 [e^a^^e'^a,, .. ., e^a„). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur In théorie des nombres complexes idéaux . 

 Note de M. R. Dedekind. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermile.) 



« Je prends la liberté de vous communiquer la remarque suivante sur 

 les théorèmes signalés par M, Sylvester dans les Comptes rendus des (6 et 

 ■j3 février, lesquels se rapportent à quelques congruences ressortant de la 

 théorie de la division du cercle. Comme toute la théorie des congruences 

 est entièrement contenue dans celle des idéaux, les théorèmes de M. Syl- 

 vester ne sont que des conséquences très spéciales d'un seul théorème, par 

 lequel sont définis tous les idéaux qui se rencontrent dans la théorie des 

 nombres, composés rationnellement de racines de l'unité. Ce théorème, 

 comme je l'ai déjà fait remarquer dans le§ 27 de mon Mémoire Sur la théorie 

 des nombres entiers algébriques (Paris, iS'yy, p. 109), se déduit facilement 

 des résultats obtenus par M. Rummer, à l'aide de certains principes géné- 

 raux dont l'exposition complète dépasserait les bornes de cette Communi- 

 cation; pour le moment, il suffira d'énoncer le théorème en question. 



» Soit 9 une racine primitive de l'équation 5'"= i; l'ensemble K,„ de 

 tous les nombres vj = F(5) qui se déduisent de 6 par les opérations ration- 

 nelles de l'Arithmétique constitue ce que j'appelle un corps de nombres; la 

 théoriedesidéaux dece corps cyclotomiqueR,„,dont le degré esl égal à (o{m), 

 a été établie par M. Rummer [Mémoires de l'académie de Berlin, i856). 

 Prenons maintenant un nombre déterminé yj = F(^)) 6t cherchons le degré» 

 de l'équation irréductible 4'('!) = o, dont est la racine; pour cela, il faut 

 considérer le sysième de tous les nombres entiers rationnels qui sont pre- 

 miers avec 7n et incongrus suivant m; parmi ces nombres, dont le nombre 

 est égal à ©(m), il y a un système (/i), comprenant tous les exposants A, qui 

 satisfont à la condition F [Ô'') — F[d) et qui forment un groupe, c'est-à-dire 

 que le produit de deux quelconques d'entre eux se trouve dans le même 



système [h] ; le nombre de ces exposants h est î-^- • 



