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» L'ensemble de tous les nombres m =J\-n), composés rationnellement 

 fie ï7, constitue un corps cyclotomique Q. de degré n, lequel est un diviseur 

 du corps K„,. Réciproquement, si ù est un corps dont tous les nombres 

 sont contenus dans le corps R,„, il existe toujours des nombres vj qui en- 

 gendrent le corps Q, de la manière indiquée ci-dessus. Le corps il est com- 

 plètement déterminé par le groupe (/?), et à chaque groupe [h) correspond 

 un corps ù. 



M Après avoir rappelé ces principes bien connus de la théorie delà divi- 

 sion du cercle, je vais maintenant proposer le théorème général sur les 

 idéaux d'un tel corps cyclotomique Q.. En me servant des notations dont 

 j'ai fait usage dans le Mémoire cité plus haut, je désigne par f l'idéal prin- 

 cipal consistant en tous les nombres entiers contenus dans le corps D. Soit 

 p un nombre premier quelconque (rationnel, positif); on peut poser 

 m = m'p', où p' désigne la plus haute puissance de p, laquelle divise le 



nombre m: soit en outre —— le nombre de tous ceux, parmi les nombres/* 



g ^ 



contenus dans le groupe (A), qui sont égaux à i (mod.m'), et soiiy le plus 

 petit exposant positif qui satisfasse à la condition que p^ soit congru, 

 suivant le module m\ à l'un des nombres h du groupe [h)\ alors le degré 

 Tt du corps Q. sera divisible par le produit Jg^ et, si l'on pose n = ejg, on 

 aura la décomposition 



où les e idéaux premiers ;>" sont différents entre eux; le degré de ces idéaux 

 est égal à J, c'est-à-dire que leur norme est donnée par l'équation 



» Ce théorème général revient à celui de M. Kummer pour le cas 



n Dans un Mémoire sur la dépendance entre la théorie des con- 

 gruences et celle des idéaux (Gôttingue, 1878), j'ai démontré que les 

 équations irréductibles de degré n auxquelles satisfont les nombres en- 

 tiers d'un corps quelconque il de degré n, prises par rapport à un module 

 premier p, se résolvent en facteurs irréductibles, dont les degrés coïn- 

 cident, en général, avec les degrés des idéaux premiers^ qui divisent le 

 nombre p. Par suite, la condition pour que ces congruences aient des 

 racines commensiirabtes consiste dans l'existence d'un tel idéal j" dont le 

 degré soit égal à i . En faisant l'application de ce fait à notre exemple, où il 



