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 s'agit des équations i|/(ï])=o de la division du cercle, on voit bien que 

 les racines jr de la congruence cyclotomique i|^(a?)sso (mod. p) ne se- 

 ront commensurables que dans le cas/=i, c'est-à-dire dans le cas que 

 p soit congru, suivant le module m', à l'un des nombres h du groupe {h). 

 Pour descendre finalement de la théorie générale aux théorèmes deM.Syl- 

 vester, il suffit d'observer que le corps Q du degré ^(p[m), qui provient 

 du nombre vj = 5 -h 5~', correspond au groupe {h) des deux nombres 

 /i^dz I (mod. m). » 



ANALYSE MATHI£MATIQUE. — Intégration de certaines équations différentielles 

 à l'aide desjonctiotis 6. Noie de M. Appell, présentée par M. Bouquet. 



« Le théorème de Riemann sur les zéros des fonctions de plusieurs 

 variables (') conduit aux conséquences suivantes, qui me semblent dignes 

 d'être remarquées. 



» I. Soit d'abord 



J{x) = {a,.v + b,){anjc -\- b^)[aiX -h l>3){a^x+ h^)[a^x -+- b^) 

 un polynôme en x du cinquième degré, et soient 



(') 



uM)— —=Ach, uAt)=^\ Zl dt 



les deux intégrales abéliennes normales de première espèce correspondant 

 à l'équation algébrique 



» Considérons une des fonctions ©(jt, j) formée avec les périodes nor- 

 males des intégrales (i). D'après le théorème de Riemann, la fonction 

 &[x, j) s'annule idenliquement pour les valeurs de a: et j" données par 

 les formules 



(2) .T = ^^,(«) — C,, y — u^{t) — C^, 



C, et C2 étant deux constantes convenablement déterminées et t un para- 



(') OEuvres (le Riemann, \i. igS. — Théorie des fonctions abéliennes de M. Briot, p. i45. 



