( 1267 ) 



fondir clans un Mémoire que j'espère pouvoir prochainement soumettre 

 au jugement de l'Académie. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une extension aux fonctions de deux variables 

 du problème de Riemann relatif aux fonctions liypergéométriques. Note de 

 M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« Dans une Communication récente, je me suis occupé de certaines 

 fonctions de deux variables indépendantes dans lesquelles il n'y avait 

 pour X et pour j- qu'un nombre limité de positions singulières. La suite 

 de cette étude m'a montré que l'on ne pouvait réaliser de cette manière 

 l'extension du problème de Riemann relatif aux fonctions hypergéomé- 

 triques d'une variable. C'est en me plaçant au point de vue suivant que 

 j'ai réalisé l'extension cherchée. J'envisage une fonction F[x, j") des deux 

 variables illimitées a? et j-, jouissant des propriétés suivantes. Tout d'abord, 

 il existe entre quatre déterminations de la fonction une relation linéaire et 

 homogène à coefficients constants. Dans le voisinage de tonte valeur k dex 

 et p de y ne coïncidant avec aucun des points o, i et co , et, de plus, 

 différentes entre elles, la fonction est bolomorphe par rapport à .r et à^; 

 a étant une valeur diflérente de o, i et co , trois des branches de la fonc- 

 tion ont dans le voisinage de a- = o, 7- = ce les formes suivantes linéaire- 

 ment indépendantes 



l^(x,v), P2(.^,r). a:-''"*-'P3(.ï%.r), 



P,, Po et P, étant des fonctions îiolomorphes de x et de y pour x = o, 

 j = a, et l'on suppose que ). + b, n'est pas un entier. Pareillement, dans le 

 voisinage de a? = i, on aura les déterminations 



et enfin, dans le voisinage de ^r .^ 7 = 2c , on a 



[x'-'-^' n, (^',^v), Jc'-''-'R,{x',y), ,r'*-'-'*.-V^)R3(..r',j), 



R,, Ro et R, étant holomorphes dans le voisinage de x' = o,y = a. On 

 suppose que b,-+- b^-h b., n'est pas entier. 



» On a de même des rléterminations analogues quand, faisant varier a; 

 dans le voisinage d'une valeur distincte de o, i et 00 , on doiuie à y des va- 



C. R., 1S80, 1" Semestre. (T- XC, N° 22.) I^î 



