( i337 ) 

 A l'égard de la substitution linéaire 



j'envisage l'équation en S 



(2) 





l X, = a, £ 



a?3 = aoÇ, 4- 



'/s Çs» 



a, — S 



«3 



/3. 



H 2 



^3 



7. 



73 -S 



et je dis que la transformation (i) est de la première catégorie si les 

 racines de cette équation et les puissances entières semblaljles de ces 

 racines sont toutes distinctes, de la deuxième catégorie si les racines sont 

 distinctes sans que les puissances semblables des racines le soient. Si les 

 racines ne sont pas distinctes, la transformation sera de la troisième caté- 

 gorie si elle peut être regardée comme une puissance entière d'une trans- 

 formation de la deuxième catégorie, et de la quatrième catégorie daiislecas 

 contraire. 



» Puis je définis les puissances fractionnaires, incommensurables, ou 

 imaginaires d'une substitution donnée. 



» Je classe ensuite les formes cubiques ternaires en sept familles, d'après 

 les propriétés de la courbe du troisième ordre que représente en coor- 

 données trilatères l'équation obtenue en égalant la forme à zéro. La forme 

 sera de la première ou de la deuxième famille si celte courbe n'a pas de 

 point double, de la troisième famille si cette courbe a un point double à 

 tangentes distinctes, de la quatrième famille si elle a un point de rebrous- 

 sement, de la cinquième famille si elle se réduit à une droite et à une 

 conique qui se coupent, de la sixième famille si elle se réduit à une droite 

 et à une conique qui se touchent, enfin de la septième famille si elle se 

 réduit à trois droites. C'est la septième famille que M. Hermite a étudiée, 

 et je n'ai pas eu à revenir sur ces formes. Je définis dans chaque famille 

 une forme plus simple que les autres et que j'appelle la canonique de cette 

 famille. 



» Je cherche ensuite, étant donnée une forme cubique ternaire, à trouver 

 le groupe des substitutions linéaires qui la reproduisent, et j'arrive aux 

 résultats suivants : 



» 1° Les formes des trois premières familles ne sont reproductibles que 



