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 par des transformations de la deuxième catégorie. 2° Les formes de la qua- 

 trième et de la cinquième famille sont reproductibles par les puissances 

 d'une même substitution de la première catégorie. 3° Les formes de la 

 sixième famille sont reproductibles par une infinité de transformations dont 

 les coefficients dépendent de deux paramètres arbitraires. 4° Les formes 

 des première, deuxième, troisième et cinquième familles ne peuvent être 

 reproduites que par des substitutions de déterminant i ; il n'en est pas de 

 même de celles de la quatrième et de la sixième famille. 5° Les formes 

 qui se reproduisent par une transformation donnée de la première, de la 

 troisième ou de la quatrième catégorie doivent satisfaire à une équation 

 aux différences partielles donnée. 



» J'ai cru devoir résoudre le même problème en ce qui concerne les 

 formes cubiques quaternaires, parce qu'il entraîne l'application de principes 

 un peu différents et une discussion délicate, et qu'une fois résolu il per- 

 mettra d'étendre sans trop de peine les résultats de ce Mémoire aux 

 formes cubiques quaternaires. 



» Ayant résolu ce problème algébrique, j'aborde les questions arithmé- 

 tiques relatives à ces formes. J'appelle d'abord substitution réduite toute 

 substitution qui transforme la forme œ^-i-œl-{~ xl en une forme quadra- 

 tique réduite (définie comme le font MM. Korkine et Zolotareff, Mathema- 

 tisclie Annalen, t. VI). J'appelle forme réduite toute forme qui dérive de 

 la canonique par une substitution réduite. En ce qui concerne les formes 

 de la quatrième et de la sixième famille, qui peuvent dériver de leur ca- 

 nonique pardessubstitutions de déterminant i ou de déterminant différent, 

 je distingue les réduites principales qui en dérivent par une substitution 

 de déterminant i et les réduites secondaires. 



» M. Jordan a démontré [Comptes rendus, 5 mai 1879) que, si le discri- 

 minant n'est pas nul, il ne peut dériver d'une même canonique qu'un nombre 

 fini de réduites à coefficients entiers. Je donne une démonstration nouvelle 

 de ce théorème, et, l'appliquant aux formes des deux premières familles, 

 je limite les coefficients de ces réduites en fonctions des invariants S et T. 



Il Le nombre des classes dérivées de chaque canonique est fini dans la 

 première et la deuxième famille (et aussi dans la cinquième famille, toutes les 

 fois que T est négatif ou que 4 S n'est pas puissance quatrième parfaite). 

 Au contraire, le nombre des classes dérivées de chaque canonique est infini 

 dans la troisième, la quatrième et la sixième famille (et aussi dans la cin- 

 quième famille, toutes les fois que T est positif et 4S puissance quatrième 

 parfaite). Mais alors les classes se répartissent en genres, les réduites d'un 



