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degré Iç'(A) transformée de l'équation /"( a;) = o en posant 7 = ;r + -• 



p étant un nombre premier ne divisant pasA, y^(x) se décompose suivant 



Je module p en 2-LJ facteurs irréductibles de degré v, plus petit nombre 



tel que p'' — i soit divisible par k. Si y, (^)eseo (mod. p) admet une racine 

 entière a, le trinôme x^ — 2ax -+- i divisey(x) suivant le module/). Deux 

 cas peuvent se présenter : 1° x"^ — 2ax + i^^o{moà.p) a ses deux racines 

 réelles; alors les deux congruencesy(j:)^EO,y, (j-)^o ont toutes leurs 

 racines réelles, et k divise/? — i ; 2°x^— 2ax -h isso(mod./j) est irréduc- 

 tible; alors /(a?) se décompose en facteurs du second degré suivant le 

 module p. D'ailleurs, le produit des racines de x^ — lax -{- 1^0 étant 

 congru à i, x^^' — i est divisible par :c* — i, ou p -j- i par k. Les racines 

 de la congruencey, (^)^o(mod.y7) sont toutes réelles. Ces propositions 

 ont été l'objet de Communications antérieures de MM. Sylvester, Pépin, 

 Lucas et Dedekind. Si k ne divise aucun des nombres p + i, p — i,/i{/) 

 se décompose suivant le module p en facteurs d'égal degré, puisque les 

 racines de la congruencey, {j)^Eio peuvent toutes s'exprimer rationnelle- 

 ment en fonction de l'une quelconque d'entre elles, et ce degré est supé- 

 rieur à I, de sorte que/", (7) est irréductible {mod.p) si ^({i{k) est premier, 

 oe qui a lieu pour les valeurs de k égales à 9, 18, à un nombre premier ou 

 au double d'un nombre premier de la forme 2q + 1, q étant lui- même pre- 

 mier, comme 5, 7, 11, 23, 47, 5g, .... 



» Supposons que k soit un diviseur de p -\- i autre que 2; si l'on rem- 

 place, dans. r^— aax 4- I, a; par x'^,X étant un nombre impair ne renfermant 



que les facteurs premiers de k et étant premier avec ^-7— 5 x'^'' — 2ax^-h i 



A* 



est irréductible suivant le module /j (Serret, Algèbre supérieure, n°' 355 et 

 suiv.). b étant un nombre non divisible par/), la fonction 



est également irréductible (mod.p). Elle ne contient que des termes de 

 degré pair en x; en remplaçante:^ pai' J*> 1^ nouvelle fonction sera, a for- 

 tiori, irréductible (mod . p) et de degré X ; si Â:= /)4- i , on peut prendre pour X 

 un nombre impair quelconque ne renfermant que des facteurs premiers 

 de /) + I . k étant un diviseur de /) — i autre que 2, et X étant un nombre 



impair, premier avec — j— et ne renfermant que des facteurs premiers 



